cho x , y > 0 và x+y >=6 . CMR : P= x(x-1)+y(y-1)>=12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MC
2
MC
1
LV
5 tháng 9 2017
Vì x+y+z=0 nên có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử đó là x và y thì xy>0.
Ta cần chứng minh \(x^2+y^4+z^6\le2\) ( fix đề )
\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2=\left(x+y\right)^2-2xy+z^2=2z^2-2xy\)
mà \(xy>0\Rightarrow2z^2-2xy\le2z^2\le2\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}z^2=1\\xy=0\end{cases}}\)( + các hoán vị) hay (x,y,z) ~(0;1;-1) và các hoán vị
OH
1
3 tháng 6 2019
Ta có : \(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)
\(8^y+8^y+8^2\ge3\sqrt[3]{8^y.8^y.8^2}=12.4^y\)
\(8^z+8^z+8^2\ge3\sqrt[3]{8^z.8^z.8^2}=12.4^z\)
\(8^x+8^y+8^z\ge3\sqrt[3]{8^x.8^y.8^z}=3\sqrt[3]{8^6}=192\)
Cộng các vế , ta được :
\(3\left(8^x+8^y+8^z+64\right)\ge3\left(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}+64\right)\)
hay \(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
KT
5
TK
4
8 tháng 9 2018
Với x,y,z>0, áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(1+1+1\right)\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)2.3\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow6\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\) (đpcm)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
KN
16 tháng 4 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho các cặp số không âm, ta có:
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(x+y\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+x+y}{2}=\frac{2+3x+3y}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(y+z\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+y+z}{2}=\frac{2+3y+3z}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(z+x\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+z+x}{2}=\frac{2+3z+3x}{6}\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên \(\sqrt{\frac{2}{3}}\text{∑}\sqrt{x+y}\le2\)
\(\Rightarrow\text{∑}\sqrt{x+y}\le\sqrt{6}\)
Vậy \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
TT
2
MN
29 tháng 3 2020
Từ giải thiết, ta suy ra được những điều sau :
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}=\frac{x}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}-\frac{y}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{x}{\left[y-\left(x+y\right)\right]\left(y^2+y+1\right)}-\frac{y}{\left[x-\left(x+y\right)\right]\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{x}{-x\left(y^2+y+1\right)}-\frac{y}{-y\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\) (1)
Và \(\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)\)
\(=x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y^2+y+1\)
\(=x^2y^2+\left(x^2+xy\left(x+y\right)+xy+y^2\right)+\left(x+y\right)+1\)
\(=x^2y^2+\left(x^2+2xy+y^2\right)+1+1\)
\(=x^2y^2+\left(x+y\right)^2+2\)
\(=x^2y^2+3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{2\left(x-y\right)}{\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{-x^2-x-1+y^2+y+1+2x-2y}{\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{-x^2+y^2+x-y}{\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(y-x\right)+x-y}{\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{y-x+x-y}{\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=0\)(ĐPCM)
7 tháng 4 2020
Biến đổi
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}=\frac{x^4-x-y^4+y}{\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)}=\frac{\left(x^4-y^4\right)-\left(x-y\right)}{xy\left(y^2+y+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
(do x+y=1 => y-1=-x và x-1=-y)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x-y\right)}{xy\left(x^2y^2+y^2x+y^2+yx^2+xy+y+x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{xy\left[x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+2\right]}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2-x+y^2-y\right)}{xy\left[x^2y^2+\left(x+y\right)^2+2\right]}=\frac{\left(x-y\right)\left[x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)\right]}{xy\left(x^2y^2+3\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left[x\left(-y\right)+y\left(-x\right)\right]}{xy\left(x^2y^2+3\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(-2xy\right)}{xy\left(x^2y^2+1\right)}=\frac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
=> ĐPCM
LT
2
Ta có \(P=x^2-x+y^2-y=>\)\(P=x^2+y^2-\left(x+y\right)\)(1)
Mặt Khác : Áp dụng BĐT Cauchy : \(\hept{\begin{cases}x^2+9\ge6x\\y^2+9\ge6y\end{cases}}\)(2)
Từ (1) (2) =>\(P\ge6\left(x+y\right)-18-\left(x+y\right)\)
=> \(P\ge6.6-18-6\)=> \(P\ge12\)(đpcm)