x^2 + 2y + z^2+ 2x + y^2+ 2x. Tìm giá trị nhỏ nhất :)))
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CV
16 tháng 6 2019
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
CV
16 tháng 6 2019
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2021
\(D=\left(x^2+z^2-2xz\right)+\left(x^2+y^2-2xy+2x-2y+1\right)+3\)
\(D=\left(x-z\right)^2+\left(x-y+1\right)^2+3\ge3\)
\(D_{min}=3\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=z\\x=y-1\end{matrix}\right.\)
NP
1
18 tháng 11 2015
\(A=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+2z+1\right)-3\)
\(=\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2-3\ge-3;vì:\left(x+1\right)^2\ge0;\left(y+1\right)^2\ge0;\left(z+1\right)^2\ge0\)
A min = -3 khi x=y=z = -1
LT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2023
Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ thì:
$(x-5)^2\geq 0$
$|2x-y|\geq 0$
$|x-2y+z|\geq 0$
$\Rightarrow A\geq 0+0+0-1=-1$
Vậy $A_{\min}=-1$.
Giá trị này đạt được khi $x-5=2x-y=x-2y+z=0$
$\Leftrightarrow x=5; y=10; z=15$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Ta sẽ chứng minh \(P_{min}=1\)
TH1: \(xyz=0\)
\(\Rightarrow x^2y^2z^2=0\Rightarrow x^4+y^4+z^4=1\)
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{x^4+y^4+z^4}=1\)
TH2: \(xyz\ne0\) , từ điều kiện, tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=cosA\\y^2=cosB\\z^2=cosC\end{matrix}\right.\)
\(P=cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)
Ta sẽ chứng minh \(cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\ge1\)
\(\Leftrightarrow4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)
\(\Leftrightarrow8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}\ge cosA.cosB.cosC\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}}{8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}\ge cotA.cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\ge cotA.cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC\ge cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}\)
Ta có:
\(tanA+tanB=\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\dfrac{2sinC}{cos\left(A-B\right)-cosC}\ge\dfrac{2sinC}{1-cosC}=\dfrac{2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}}{2sin^2\dfrac{C}{2}}=cot\dfrac{C}{2}\)
Tương tự: \(tanA+tanC\ge cot\dfrac{B}{2}\) ; \(tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Vậy \(P_{min}=1\) khi \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị hoặc \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
19 tháng 5 2021
\(gt\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
\(P=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}+z\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}+y\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-z\right)^2}+z\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\right)\)
\(\ge\dfrac{1}{xyz}\left[x.\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2}+y.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2}+z.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2yz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2xz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2xy}\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(1+1+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) (bunhia)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=9\)
KB
19 tháng 5 2021
Thấy : \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)>0\)
CMTT : \(\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\) ; \(\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{1}{xyz}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Ta có : \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
Mặt khác : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=y=z=9\)
T
15 tháng 3 2021
Ta có:
\(2\left(2x^2+xy+2y^2\right)=3\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2+1\left(x+y\right)^2=\dfrac{5}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Gợi ý. Dùng cái trên.
=x^2+4x+4+y^2+2y+1+z^2-5
=(X+2)^2+(Y+1)^2+z^2-5
Ta Có: (x+2)^2_>0 với mọi x dấu = xay ra khi x+2=0=> x=-2
(ý+1)^2_>0 Với mọi y dấu bằng xảy ra khi y+1=0=>y=-1
Z^2 _> 0 với mọi z dau = xay ra khi z=0
=>(x+2)^2+(y+1)^2+z^2-5>_-5
Vậy biểu thức trên đạt min là -5 khi X=-2; y=-1;z=0