Question

[Marry]

\(Cho\)\(a;b;c>0\)thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3\)\(.\)\(CMR\)\(:\)

\(4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+5\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge27\)

P/S: Mình đăng thử sức bạn mình thôi, các bạn không cần làm đâu

Answer 1

[nguyễn minh huy]

Đặt P=\(4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+5\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=\left(5a^2+\frac{4}{a}\right)+\left(5b^2+\frac{4}{b}\right)+\left(5c^2+\frac{4}{c}\right)\)

Lại có:\(a^3+b^3+c^3=3\)và \(a,b,c>0\)\(\Rightarrow0< a,b,c\le\sqrt[3]{3}\)

Ta chứng minh cho:

\(5x^2+\frac{4}{x}\ge2x^3+7\)với  \(0< x\le\sqrt[3]{3}\)

\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{4}{x}-2x^3-7\ge0\)

\(\Leftrightarrow5x^3+4-2x^4-7x\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^4-5x^3+7x-4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-x-4\right)\left(x-1\right)^2\le0\)

Nhận thấy \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\2x^2-x-4< 0\forall0< x\le\sqrt[3]{3}\end{cases}}\)\(\Rightarrow5x^2+\frac{4}{x}\ge2x^3+7\)\(\left(1\right)\)

Áp dụng (1).Ta có:

\(P\ge2a^3+7+2b^3+7+2c^3+7\) với \(0< a,b,c\le\sqrt[3]{3}\)

\(\Leftrightarrow P\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+21\)

\(\Leftrightarrow P\ge27\) Do:\(a^3+b^3+c^3=3\)\(\left(đpcm\right)\)

Dấu = xảy ra khi:

\(a=b=c=1\)