Question

[Incursion_03]

Cho (O;^AB/₂). Trên tia đối BA lấy C . Từ C kẻ tiếp tuyến CD cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại E . AD cắt OE tại H , BE cắt (O) tại K

1, CMR: AE² = EK . EB

2, CMR: 4 điểm B,O,H,K cùng thuộc 1 đường tròn

3,Đường thẳng vuông góc vs AB tại O cắt CE tại M.  CMR \(\frac{AE}{EM}-\frac{EM}{CM}=1\)

a,CMR :AE² = EK . EB

Vì ^AKB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => ^AKB = 90^o => AK   |   EB

Vì AE là tiếp tuyến của (O) => ^EAB = 90^o

Xét tam giác AEB vuông tại A có AK là đường cao => AE² = EK . EB (hệ thức lượng)

b,CMR : 4 điểm B,O,H,K cùng thuộc 1 đường tròn (Hay nói cách khác BOHK nội tiếp)

Vì EA , ED là các tiếp tuyến của (O) ; OE cắt AD tại H => ^OHA = 90^o => AH   |   OE 

Xét tam giác EAO vuông tại A có AH là đường cao => EA² = EH . EO (hệ thức lượng)

Kết hợp câu a,b sẽ đc EH . EO = EK . EB ( =EA² ) \(\Rightarrow\frac{EH}{EK}=\frac{EB}{EO}\)

Xét\(\Delta EHK\&\Delta EBO:\hept{\begin{cases}\widehat{OEB}chung\\\frac{EH}{EK}=\frac{EB}{EO}\left(CMT\right)\end{cases}\Rightarrow}\Delta EHK~\Delta EBO\left(c.g.c\right)\) ( ~ là đồng dạng nha)

\(\Rightarrow\widehat{EHK}=\widehat{EBO}\)=> tứ giác BOHK nội tiếp (Đpcm)

C, theo tính chất tiếp tuyến thì OE là phân giác ^AOD và ^AED

Vì OM vuông vs AC nên ^MOE  + ^EOA = 90^o mà ^EOA + ^OEA = 90⁰  nên ^MOE = ^OEA

Vì EO là phân giác ^AED => ^AEO = ^OED => ^MOE = ^OED => Tam giác MEO cân tại M => MO = ME

Vì OM // AE nên theo Ta-lét có \(\frac{CE}{CM}=\frac{AE}{OM}\)mà OM = ME \(\Rightarrow\frac{CE}{CM}=\frac{AE}{ME}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{EM}=\frac{CE}{CM}=\frac{CM+ME}{CM}=1+\frac{ME}{CM}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{EM}-\frac{ME}{CM}=1\)(Đpcm)

P/S: gửi tới bạn hải và bạn trang cơ sở 2

Mọi người và thầy cô đừng care câu này của e

Answer 1

[Incursion_03]

Giải phương trình \(\left(3x^2-6x\right)\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=2x^3-5x^2+4x-4\left(ĐKXĐ:x\ge\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)-\left(2x^2-x+2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(Thoa-man\right)\\3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=2x^2-x+2\left(1\right)\end{cases}}\)

Giải (1) : \(\left(1\right)\Leftrightarrow3x\sqrt{2x-1}+3x=2x^2-x+2\)

                       \(\Leftrightarrow3x\sqrt{2x-1}=2x^2-4x+2\)

                       \(\Leftrightarrow3x\sqrt{2x-1}=2\left(x-1\right)^2\)      

                       \(\Leftrightarrow9x^2\left(2x-1\right)=4\left(x-1\right)^4\)(*)

Theo tam giác  Bát-cam cho bậc 4 thì các hạng tử lần lượt là 1 4 6 4 1  nên 

\(\left(x-1\right)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)

Khi đó \(\left(stars\right)\Leftrightarrow18x^3-9x^2=4\left(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\right)\)

                           \(\Leftrightarrow18x^3-9x^2=4x^4-16x^3+24x^2-16x+4\)

                           \(\Leftrightarrow4x^4-34x^3+33x^2-16x+4=0\)

                           \(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+4\right)\left(4x^2-2x+1\right)=0\)

                           \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-8x+4=0\\4x^2-2x+1=0\end{cases}}\)

Đây là pt bậc 2 nên có thể dùng delta để giải , khi đó sẽ đc 2 nghiệm là \(x\in\left\{4\pm2\sqrt{3}\right\}\)(Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy pt có tập nghiệm \(S=\left\{2;4\pm2\sqrt{3}\right\}\)