Cho trước 2 điểm \(A\left(-2;-3\right);B\left(1;-2\right)\)
Đường thẳng \(\Delta:2x-3y+6=0\)
Tìm C trên \(\Delta\) sao cho \(\left|CA-CB\right|\) lớn nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
30 tháng 9 2023
Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)
Do đó, AB có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\end{array} \right.\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {{y_2} - {y_1}; - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right)\), suy ra AB có phương trình tổng quát là:
\(\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right) - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).
17 tháng 5 2016
a. Do \(\left(-2\right)+1-3+1=-3< 0\)
và \(4+\left(-5\right)-6+1=-6< 0\)
nên A, B ở về cùng 1 phía của mặt phẳng (P). Do đó điểm \(C\in\left(P\right)\) sao cho \(CA+CB\) nhỏ nhất chính là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng (P), trong đó A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
Giả sử \(A'\left(x;y;z\right)\) do A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-\frac{zx+2}{2}+1=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(x=0;y=3;z=1\)
Do đó \(A'\left(0;3;1\right)\)
Gọi \(C\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của A'B với (P). Khi đó tọa độ của C' thỏa mãn phương tringf của (P) và hai vecto \(\overrightarrow{A'C};\overrightarrow{A'B}\) cùng phương. Do đó, ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{-5-3}=\frac{z-1}{6-1}\end{cases}\)
Từ phương trình thứ 2 suy ra \(y=-2x+3\) và \(z=\frac{5}{4}x+1\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x=\frac{3}{4}\). Từ đó tìm được \(y=\frac{3}{2}\) và \(z=\frac{31}{16}\)
Vậy điềm \(C\) cần tìm là \(C\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{31}{16}\right)\)
b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(I\left(1;-2;\frac{9}{2}\right)\) và với mọi điểm D đều có \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DI}\)
Vậy \(D\in\left(P\right):\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\) D là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ của hình chiếu điểm I trên (P). Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-\frac{9}{2}}{-1}\end{cases}\)
Giải hệ ta thu được :
\(x=\frac{5}{2};y=-\frac{1}{2};z=3\)
Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài nhỏ nhất là \(D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\)
MP
3
26 tháng 7 2019
Áp dụng bđt sau \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Có: \(A=\left(x+2\right)^4+\left(x-4\right)^4\)
\(=\left(x+2\right)^4+\left(4-x\right)^4\)
\(\ge\frac{\left[\left(x+2\right)^2+\left(4-x\right)^2\right]^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+2+4-x\right)^2}{2}\right]^2}{2}\)
\(=\frac{\left(\frac{6^2}{2}\right)^2}{2}=162\)
Dấu "=" xảy ra <=> x + 2 = 4 - x
<=> 2x = 2
<=> x = 1
9 tháng 1 2016
\(y=\left(m^2-1\right)x-m^2+3=m^2x-x-m^2+3=m^2\left(x-1\right)-x+3\)
\(\Rightarrow m^2\left(x-1\right)-\left(x-3+y\right)=0\). Để đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m thì \(\int^{x-1=0}_{x-3+y=0}\Leftrightarrow\int^{x=1}_{y=2}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) là:
\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( { - 2{{\rm{x}}^2}} \right) - \left( { - {{2.1}^2}} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ { - 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} \right] = - 2\left( {1 + 1} \right) = - 4\end{array}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
1 tháng 10 2023
a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:
\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)
Vì \(2.\left(-2\right)-3+6=11>0\)
và \(2.1-3\left(-2\right)+6=14>0\) nê A,B cùng phía đối với \(\Delta\). Khi đó mọi \(C\in\Delta\) đều có :
\(\left|CA-CB\right|\le\left|C_0A-C_0B\right|=AB\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(C\) trùng với \(C_0\) là giao điểm của đường thẳng AB với \(\Delta\). Do đó tọa độ của điểm C cần tì là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}2x-3y+6=0\\\frac{x+y}{3}=\frac{y+3}{1}\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(\left(x;y\right)=\left(-13;-\frac{20}{3}\right)\) vậy điểm cần tìm là \(C=\left(-13;-\frac{20}{3}\right)\)