K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2023

Lời giải:
Vì $x+1, y+2013$ chia hết cho $6$ nên đặt $x+1=6k, y+2013=6m$ với $k,m\in\mathbb{N}^*$ 

Khi đó:

$4^{x}+x+y=4^{6k-1}+6k-1+6m-2013$

$=4^{6k-1}-2014+6(k+m)$

Vì $4\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{6k-1}\equiv 1^{6k-1}\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{6k-1}-2014\equiv 1-2014\equiv -2013\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{6k-1}-2014\vdots 3$

Mà $4^{6k-1}-2014$ chẵn với mọi $k\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow 4^{6k-1}-2014\vdots 6$

Kết hợp với $6k+6m\vdots 6$

$\Rightarrow 4^x+x+y=4^{6k-1}-2014+6k+6m\vdots 6$ (đpcm) 

1 tháng 3 2019

Đặt \(x^3=a,y^3=b,z^3=c\Rightarrow abc=1\)

\(P=\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta chứng minh bổ đề sau

\(\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+2ab^2+2a^2b+b^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Sử dụng bổ đề ta được

\(P\ge\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c+a}{3}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge\dfrac{2.3\sqrt[3]{abc}}{3}=2\)

21 tháng 7 2019

KHÔNG CHIA HẾT ĐƯỢC ĐÂU

21 tháng 7 2019

Nếu x + 1 chia hết cho 6 

=> x = 5

Nếu y + 2013 chia hết cho 6 

=> y = 3

Vì x = 5 , y = 3

=>\(4^5\)+ 5 + 3 = \(4^x\)+ x + y

=> 512 + 5 + 3 = 520

520 k chia hết cho 6

=> Đề sai @@

18 tháng 3 2023

Bài toán này nhìn đầu tiên có vẻ rắc rối nhưng thực ra rất đơn giản. Ta biết rằng x + 8 và y + 2012 chia hết cho 6, và biểu thức 4^3 + x + y có thể viết lại dưới dạng 64 + x + y. Vì x + 8 chia hết cho 6, nên x chia hết cho 6 - 8, tức là -2. Vì y + 2012 chia hết cho 6, nên y chia hết cho 6 - 2012, tức là -2006. Vậy x + y = -2 - 2006 = -2008. Ta thấy rằng 64 + x + y = 64 - 2008 = -1944. Tuy nhiên, -1944 không chia hết cho 6, vì nó không chia hết cho 2. Vậy ta suy ra rằng 4^3 + x + y không chia hết cho 6. Do đó, bài toán đã được chứng minh.