Hỏi đáp Toán lớp 9

giả sử \(3^n+63=k^2\)

- Nếu n lẻ \(\Rightarrow3^n+63\equiv3+63\equiv2\left(mod4\right)\Rightarrow k^2\equiv2\left(mod4\right)\) (loại)

Đặt n=2m ( \(m\inℕ\)

- Nếu n chẵn \(\Rightarrow k^2-3^{2m}=63\Leftrightarrow\left(k-3^m\right)\left(k+3^m\right)=7.9\)

Vì \(k+3^m=k-3^m\left(mod3\right)\Rightarrow k+3^m,k-3^m\) đều chia hết cho 3

Lại có: \(k-3^m< k+3^m\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k-3^m=3\\k+3^m=3.7\end{cases}}\)

Từ đó tìm đc k=12, m=2 => n=4

.Ta có :$IC$ là tiếp tuyến của (O)$\backslash (\backslash Rightarrow\backslash widehat\{CIE\}=\backslash widehat\{IBC\}\backslash )$ 

$\mathrm{\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\Delta }ICE\sim \Delta IBC(g.g)\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\frac{IE}{IC}=\frac{IC}{IB}$

$\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )I{C}^2=IE.IB$

Ta có : $BD//AC\backslash (\backslash Rightarrow\backslash widehat\{IAE\}=\backslash widehat\{EDB\}=\backslash widehat\{ABE\}\backslash )$

$\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\Delta AIE\sim \Delta BIA(g.g)\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\frac{AI}{BI}=\frac{IE}{IA}\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )I{A}^2=IB.IE$

$\to I{A}^2=I{C}^2\to IA=IC\to I$ là trung điểm AC

Dễ có IC là tiếp tuyến của đường tròn nên IC² = IB.IE (1)

Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có: ^EBA = ^BDA

Lại có: ^BDA = ^DAC (BD//AC, hai góc so le trong)

Từ đó suy ra ^EBA = ^DAC

∆AIE và ∆BIA có: ^AIB là góc chung, ^EBA = ^DAC (cmt) nên ∆AIE ~ ∆BIA (g.g)

=>\(\frac{IA}{IE}=\frac{IB}{IA}\Rightarrow IA^2=IB.IE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA² = IC² hay IA = IC

Vậy I là trung điểm của AC (đpcm)

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^o\)

Vì CD là đường kính \(\Rightarrow\widehat{CFD}=90^o\)

Ta có: EO// FO' nên \(\widehat{EOB}+\widehat{CO'F}=180^O\)

Mà \(\widehat{EAB}=\frac{1}{2}\widehat{EOB},\widehat{CDF}=\frac{1}{2}\widehat{CO'F}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAB}+\widehat{CDF}=90^O\Rightarrow\widehat{\text{EMF}}=90^O\)

=> tứ giác MENF là hcn( đpcm)

b)Ta có:  \(\widehat{N\text{EF}}=\widehat{ENM}\) ( tứ giác MENF là hcn)

\(\widehat{N\text{EF}}=\widehat{BAE}\) (cùng chắn cung EB)

=> \(\widehat{EAB}=\widehat{BNM}\)

=> tam giác MEN ~ tam giác MCA

=> MN vuông góc với AD

c) Ta có: \(ME.MA=MK.MN\) ( K là giao của MN và AD)

\(MK.MN=MF.MD\)

\(\Rightarrow ME.MA=MF.MD\)

Kẻ tiếp tuyến tại A. Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại A với dây BC.

Ta có: EM=EA và \(\widehat{EAM}=\widehat{EMA}\)( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{EAB}+\widehat{BAM}=\widehat{ECA}+\widehat{CAM}\)

Mà \(\widehat{EAB}=\widehat{ECA}\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) hay AM là phân giác góc BAC( đpcm)

cần hình ib mình mình gửi cho nhé =) 

a) 

Vì (O) và (O′) cắt nhau tại hai điểm A và B nên OO′ vuông AB ( định lý )

- Xét tam giác ADC

 Có OO′ là đường trung bình ( vì O là trung điểm AC , O′ là trung điểm của AD)

Nên => OO′ // CD 

=>  AB vuông CD ( Quan hệ từ vuông góc đến song song )

Xét tam giác ADC 

Có AC = AD ( vì hai đường tròn (O) và (O′) có cùng bán kính )

=> Tam giác ACD cân tại A có AB là đường cao nên AB cũng là đường trung tuyến

 =>  BC = BD hay cung BC = cung BD  (vì (O) và (O′)  là hai đường tròn bằng nhau )

b) Xét đường tròn (O′) có A , E , D cùng thuộc đường tròn và AD là đường kính nên tam giác AED vuông tại E

\(\Rightarrow DE\perp AC\Rightarrow\widehat{DEC}=90^o\)

- Xét \(\Delta DEC\)vuông tại E có B là trung điểm DC ( cmt )

\(\Rightarrow EB=\frac{DC}{2}=BD=EB\)

=> Cung EB = cung BD ( định lý )

 Do đó B là điểm chính giữa cung ED 

 Ta có: \(4a^2+a\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow a^2+\frac{\sqrt{2}}{4}a-\frac{\sqrt{2}}{4}=0\Leftrightarrow a^2=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}a\)\(\Leftrightarrow a^4=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a^2-\frac{1}{4}a\Leftrightarrow a^4+a+1=\frac{1}{8}a^2+\frac{3}{4}a+\frac{9}{8}=\frac{1}{8}\left(a+3\right)^2\)\(\Rightarrow\sqrt{a^4+a+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+3\right)\)(Do a > 0)

\(\Rightarrow\sqrt{a^4+a+1}-a^2=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+3\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra \(\frac{a+1}{\sqrt{a^4+a+1}-a^2}=\frac{a+1}{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(a+1\right)}=\sqrt{2}\)

a, vì \(AD\) là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) \(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\) 

\(\Rightarrow\Delta ABD~\Delta AEC\) (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}\Leftrightarrow AB.AC=AE.AD\)

b, Ta có :

\(\widehat{EBD}=\widehat{EBC}=\widehat{EAC}=\widehat{BAE}\)

\(\Rightarrow\Delta EBD~\Delta EAB\)(g-g)

\(\Rightarrow\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EB}\Leftrightarrow ED.EA=EB^2\)