![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(x;2y;3z\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=3.\)
\(P=\sum\frac{a}{1+b^2}=\sum\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=\sum\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)=\sum\left(a-\frac{ab}{2}\right)\)
\(\ge3-\frac{1}{2.3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do x,y > 0 nên ta xét \(\frac{1}{A}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(2xy\le x^2+y^2\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\Rightarrow-\frac{1}{2xy}\le-\frac{1}{x^2+y^2}\)
Từ đó suy ra \(\frac{1}{A}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2xy}\le-\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2+y^2}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge-\frac{2}{3}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\) (x,y>0)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \(-\frac{2}{3}\) khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đề trên có chút sai nhé các bạn P =\(\frac{x^2}{1+2y^3}+\frac{y^2}{1+2z^3}+\frac{z^2}{1+2x^3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
\(\frac{x^2+4y^2}{x-2y}=\frac{x^2+4y^2-4xy+4xy}{x-2y}=\frac{\left(x-2y\right)^2}{x-2y}+\frac{4}{x-2y}\)
\(=x-2y+\frac{4}{x-2y}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho hai số không âm, ta có
\(x-2y+\frac{4}{x-2y}\ge2\sqrt{\left(x-2y\right)\times\frac{4}{x-2y}}=2\sqrt{4}=4\)
Suy ra Pmin = 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x-2y=\frac{4}{x-2y}\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=4\Leftrightarrow x-2y=2\)
( do x - 2y \(\ge0\) )
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(x=a;2y=b;3z=c\Rightarrow a+b+c=3\)
\(T=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
Áp dụng Bđt Cô si ngược dấu ta có:
\(T=\text{∑}a-\frac{a^2b}{1+b^2}\ge\text{∑}a-\frac{a^2b}{2b}=\text{∑}a-\frac{ab}{2}\)
\(=a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c-\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{6}\)\(=3-\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+2ab+b^2 >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab (1) <=> 2ab <= (a+b)^2/2 (2)
Với a,b > 0 thì chia 2 vế của (1) cho (a+b).ab , ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a + 1/b >= 4/a+b (*)
Áp dụng bđt (*) và bđt (2) thì :
P = 1/2xy + 1/x^2+4y^2 = 1/4xy + (1/4xy + 1/x^2+4y^2) >= 1/2.x.2y + 4/x^2+4xy+y^2
>= 1 : (x+2y)^2/2 + 4/(x+2y)^2 = 1 : 1/2 +4/1 = 6
Dấu "='' xảy ra <=> x=2y và x+2y=1
<=> x=0,5 ; y=0,25
Vậy GTNN của P = 6 <=> x=0,5 và y=0,25
k mk nha
mk mới làm cách khác bạn
P=\(\frac{1}{x^2+4y^2}\)+\(\frac{1}{4xy}\)+\(\frac{1}{4xy}\)
áp dụng BĐT phụ 1/a +1/b >= 4/a+b
=> \(\frac{1}{x^2+4y^2}\)+\(\frac{1}{4xy}\)>= \(\frac{4}{\left(x+2y\right)^2}\)=4 (1)
áp dụng BĐT phụ 1/ab >= 4/(a+b)^2
+) 1/4xy = 1/2.1/2xy
1/2xy>= 4/(x+2y)^2 = 4
=> 1/4xy >= 1/2 . 4 = 2 (2)
cộng (1) và (2) => P>=6