![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có p; q ; p -q ; p + q là các số nguyên tố
=> p > q
Th1: q > 2
=> p; q là số chẵn
=> p - q ; p + q là các số chẵn => loại
Th2: q = 2
Ta tìm p để p; p - 2 ; p + 2 là các số nguyên tố
+) Nếu p - 2 = 3 => p = 5 => p + 2 = 7 là các số nguyên tố => p = 5 thỏa mãn
+) Nếu p - 2 = 3k + 1 => p = 3 k + 3 không là số nguyên tố=> loại
+) Nếu p - 2 = 3k + 2 => p = 3k + 4 => p + 2 = 3k + 6 không là số nguyên tố => loại
Vậy p = 5; q = 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do p nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3 => p2 không chia hết cho 3
Mà p2 chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 => p2 chia 3 dư 1
Lí luận tương tự với q2 từ đó => p2 - q2 chia hết cho 3 (1)
Do p nguyên tố > 3 nên p lẻ => p2 lẻ
Mà p2 chia 8 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4 => p2 chia 8 dư 1
Lí luận tương tự với q2 từ đó => p2 - q2 chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2), mà (3;8)=1 => p2 - q2 chia hết cho 24 (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(p^2+3pq+q^2=m^2\left(m\in N^{\text{*}}\right)\)
\(\Leftrightarrow pq+\left(p+q\right)^2=m^2\)
\(\Leftrightarrow pq=\left(m-p-q\right)\left(m+p+q\right)\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=pq\\m-p-q=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2p+2q-pq+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(p-2\right)\left(q-2\right)=5=1.5\)
\(\Leftrightarrow\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)
Thử lại ta được \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=p\\m-p-q=q\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3q+p=0\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=q\\m-p-q=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3p+q=0\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn
Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)