Question

[Thầy Cao Đô]

Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A$ ($AB < AC$), $\widehat{C} = \alpha < 45^\circ$, đường trung tuyến $ AM $, đường cao $ AH $, $ MA = MB = MC = a $. Chứng minh rằng:

a) $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $.

b) $ 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha $.

c) $ 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha $.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔMAC có MA=MC

nên ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{AMC}=180^0-2\cdot\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{AMC}=180^0-\widehat{AMB}\)

nên \(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{ACB}\)

=>\(sin2\alpha=sin\left(\widehat{AMB}\right)=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AH}{\dfrac{BC}{2}}=AH\cdot\dfrac{2}{BC}=\dfrac{2AH}{BC}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có \(sinACH=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosACB=\dfrac{AC}{CB}\)

=>\(sin\alpha\cdot cos\alpha=\dfrac{AH}{AC}\cdot\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AH}{CB}\)

=>\(2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha=2\cdot\dfrac{AH}{BC}\)

Do đó: \(sin2\alpha=2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có \(cos^2\alpha=cos^2C=\left(\dfrac{CA}{CB}\right)^2=\dfrac{CA^2}{CB^2}\)

=>\(2\cdot cos^2\alpha=\dfrac{2\cdot CA^2}{CB^2}=\dfrac{2\cdot CH\cdot CB}{CB^2}=\dfrac{2\cdot CH}{CB}\)

\(\Leftrightarrow2\cdot cos^2\alpha-1=\dfrac{2\cdot CH}{2\cdot CM}-1=\dfrac{CH}{CM}-1=\dfrac{CH-CM}{CM}=\dfrac{HM}{CM}\)

\(=\dfrac{HM}{AM}=cosAMB=cos2\alpha\)

=>\(1+cos2\alpha=2\cdot cos^2\alpha\)

c: \(1-2\cdot sin^2\alpha=1-2\cdot\left(1-cos^2\alpha\right)=2\cdot cos^2\alpha+1=cos2\alpha\)

=>\(1-cos2\alpha=2\cdot sin^2\alpha\)