Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
gthiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
đúng nha
Ta có:
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)
\(\Leftrightarrow a< 1\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)
\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)
Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên dễ dàng suy ra được a,b,c < 1
Từ đó ta có (1-a)(1-b)(1-c)>0
Suy ra:
Suy ra ĐCCM?
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2bc-2ca
((a^2+b^2+c^2)-1)/2abc=(1-2ab-2bc-2ca-1)/abc=-(1/a+1/b+1/c)
T=4/a+b +4/b+c +4/c+a<=1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a-1/a-1/b-1/c=1/a+1/b+1/c<=9
Dấu = khi a=b=c=1/3
Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.
BĐT cần cm tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).
Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.
Vậy ta có đpcm.
Cauchy ở mẫu \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
Vậy vế trái \(\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)
Và lượng trên tử bé hơn bằng \(ab+bc+ca\)
