Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bđt \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\),dấu "=" xảy ra <=>a=b
\(\sqrt{\left(4x-1\right).1}\le\frac{1+4x-1}{2}=2x\)
Tương tự \(\sqrt{\left(4y-1\right).1}\le\frac{1+4y-1}{2}=2y;\sqrt{\left(4z-1\right).1}\le\frac{1+4z-1}{2}=2z\)
Cộng theo vế:
=>\(2\left(x+y+z\right)\ge\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}}< =>x=y=z=\frac{1}{2}\)
\(\hept{\begin{cases}x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0\left(1\right)\\\sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2\left(2\right)\end{cases}}\)
ĐKXĐ: \(x\ge y\ge0\)
ta có: (1)\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)-3y^3-9x^2y+3x^2y+9xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+3y\left(x^2-y^2\right)-9xy\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3y\left(x+y\right)-9xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-5xy+4y^2\right)=0\)
\(\orbr{\begin{cases}x=y\\x^2-5xy+4y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\\left(x-y\right)\left(x-4y\right)=0\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=4y\end{cases}}\)
* Thay x=y vào phương trình (2), ta được: \(\sqrt{y-y}+\sqrt{2y}=2\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=y=2\)
* thay x=4y vào phương trình (2), ta được: \(\sqrt{4y-y}+\sqrt{4y+y}=2\)
\(\Leftrightarrow y=8-2\sqrt{15}\)\(\Rightarrow x=32-8\sqrt{15}\)
Vậy.......
Giả sử \(y\ge z\Rightarrow\frac{4x}{1+4x}\ge\frac{4y}{1+4y}\Leftrightarrow1-\frac{1}{1+4x}\ge1-\frac{1}{1+4y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+4x}\le\frac{1}{1+4y}\Leftrightarrow1+4x\ge1+4y\Leftrightarrow x\ge y\)
\(\Rightarrow\frac{4z}{1+4z}\ge\frac{4x}{1+4x}\).Tương tự:\(z\ge x\).Nên \(x=y=z\).
Thế vào mà giải nhé
a/ \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y}\left(1\right)\\2\sqrt{xy-y}-\sqrt{y}=-1\left(2\right)\end{cases}}\)
Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\0\le y\le1\end{cases}}\)
Xét phương trình (1) ta đễ thấy y = 0 không phải là nghiệm:
\(\sqrt{xy}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y}\left(1-\sqrt{x}\right)=\sqrt{1-y}\)
\(\Leftrightarrow1-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{1-y}}{\sqrt{y}}\)
\(\Rightarrow1-\sqrt{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\le1\)
Kết hợp với điều kiện ta được x = 1 thê vô PT (2) ta được y = 1
b/ \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2x}{y}}+\sqrt{\frac{2y}{x}}=3\left(1\right)\\x-y+xy=3\left(2\right)\end{cases}}\)
Xét pt (1) ta có
\(\sqrt{\frac{2x}{y}}+\sqrt{\frac{2y}{x}}=3\)
Đặt \(\sqrt{\frac{x}{y}}=a\left(a>0\right)\)thì pt (1) thành
\(\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{a}=3\)
\(\Leftrightarrow a^2+1=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Tới đây đơn giản rồi làm tiếp nhé
Bài 1: ĐK:....
Cộng theo vế 3 pt trên ta có
\(2x+2y+2z=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow4x+4y+4z-2\sqrt{4x-1}-2\sqrt{4y-1}-2\sqrt{4z-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
Xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x-1=1\\4y-1=1\\4z-1=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)