Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả thiết của dề bài chưa đúng, mình sửa lại thành \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC.cosA}\)
Đặt \(a=\sqrt{cosA},b=\sqrt{cosB},c=\sqrt{cosC}\)
Suy từ giả thiết :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Vậy ta có \(\sqrt{cosA}=\sqrt{cosB}=\sqrt{cosC}\Rightarrow\hept{\begin{cases}cosA=cosB=cosC\\\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều.
\(tanB=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{AC^2}{AB^2}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{AC^2}{AB^2}+1=3\Rightarrow\dfrac{AC^2+AB^2}{AB^2}=3\Rightarrow\dfrac{BC^2}{AB^2}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Mà \(sinC=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow sinC=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(sin^2C+cos^2C=1\Rightarrow\dfrac{1}{3}+cos^2C=1\Rightarrow cosC=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
\(tanC=\dfrac{sinC}{cosC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
b.
Trong tam giác vuông ACH:
\(sinC=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AH}{sinC}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=6\left(cm\right)\)
Trong tam giác vuông ABC:
\(tanB=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{AC}{tanB}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
Áp dụng Pitago:
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=3\sqrt{6}\left(cm\right)\)
<=> 2.cos2A - 1 + 2\(\sqrt{2}\). (cosB + cosC) = 3
<=> 2.cos2A + 2\(\sqrt{2}\). 2. cos\(\frac{B+C}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4 = 0
<=> 2. cos2A + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4 = 0 (Do cos\(\frac{B+C}{2}\)= cos\(\frac{180^o-A}{2}\)= sin \(\frac{A}{2}\))
Nhận xét: tam giác ABC tù nên cosA > 0; Mà cosA \(\le\) 1 => cos2A \(\le\) cosA
Có: cos\(\frac{B-C}{2}\) \(\le\) 1
=>0 = 2. cos2A + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4 \(\le\) 2cosA + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4
= 2.(1 - 2sin2 \(\frac{A}{2}\)) + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\) - 4 = -2. (2sin2 \(\frac{A}{2}\)- 2\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\) + 1) = -2. \(\left(\sqrt{2}sin\frac{A}{2}-1\right)^2\)\(\le\)0
=> \(\sqrt{2}sin\frac{A}{2}-1=0\) <=> \(sin\frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)<=> A/2 = 45o
=> góc A = 90o
Dấu "=" xảy ra <=> cos\(\frac{B-C}{2}\) = 1 => B - C = 0 => B = C mà A = 90o
=> B = C = 45o
vậy..........