Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Nếu |a| < |b| thì |a| - |b| < 0 < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|
- Nếu |a| = |b| thì |a| - |b| = 0; |a + b| = |2a|
=> |a| - |b| \(\le\) |a + b|
- Nếu |a| > |b|
- Nếu b = 0 thì |a| - |b| = |a| = |a + b|
Bây giờ chỉ còn lại 2 trường hợp với b khác 0
- Nếu a và b cùng dấu, dễ thấy: |a| - |b| < |a| < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|
- Nếu a và b trái dấu
+ Nếu a > 0 > b, lại có: |a| > |b| (1)
=> |a| - |b| = a - (-b) = a + b
Từ (1) => bểu thức a + b mang dấu dương, do đó |a + b| = a + b = |a| - |b|
+ Nếu b > 0 > a, lại có: |a| > |b| (2)
=> |a| - |b| = -a - b = -(a + b)
Từ (2) => biểu thức a + b mang dấu âm, do đó |a + b| = -(a + b) = |a| - |b|
Như vậy, |a| - |b|\(\le\) |a + b|
Dấu "=" xảy ra khi b = 0 hoặc a và b cùng bằng 0 hoặc a và b trái dấu ( với b khác 0)
Có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Khai căn 2 vế
\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)
Uầy cái này là bổ đề huyền thoại của lớp 9 rồi :333333333
BĐT cần CM <=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+8abc\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Mà theo CAUCHY 2 số thì \(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân lại => \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
=> Ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), dấu bằng xảy ra khi a = b.
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\), dấu bằng xảy ra khi b = c.
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\) , dấu bằng xảy ra khi a = c.
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}=8abc\)
lại có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(\frac{1}{8}+1\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
Tham khảo
- Nếu a ≤ 0 ; b ≤ 0 hoặc a ≥ 0;b ≥ 0 thì |a + b| = |a| + |b|
- Nếu a,b khác dấu và |a| > |b| thì |a+b| = |a| - |b| < |a| < |a| + |b|
- Nếu a,b khác dấu và |b| > |a| thì |a+b| = |b| - |a| < |b| < |a| + |b|
Vậy trong mỗi trường hợp của a và b ta luôn có |a+b| ≤ |a| + |b|
Chúc học tốt !
a2(1+b2) + b2(1+c2) + c2(1+a2) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + a2c2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số không âm a2, a2b2, b2, b2c2, c2, a2c2 ta được:
a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + a2c2 >= 6\(\sqrt{a^6b^6c^6}\)= 6abc
=> a2(1+b2) + b2(1+c2) + c2(1+a2) >= 6abc
Dấu = xảy ra khi
a2=a2b2=b2=b2c2=c2=a2c2
a=b=c=+-1
a) \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
bạn thử tải app này xem có đáp án không nhé <3 https://giaingay.com.vn/downapp.html
Làm lại:
Ta có: |a| - |b| \(\le\)|a+b| (1)
Xét |a| - |b|\(\le\)0 => (1) đúng (*)
Xét |a| - |b| > 0 ta bình phương 2 vế của (1) được
a2 - 2|a.b| + b2 \(\le\)a2 + 2ab + b2
<=> 2ab + 2|ab| \(\ge\)0 (2)
Xét ab < 0 thì
(2) <=> 2ab - 2ab = 0
=> (1) đúng (**)
Xét ab \(\ge\)0 thì
(2) <=> 2ab + 2ab \(\ge\)0
<=> 4ab \(\ge\)0 (đúng) (***)
Từ (*), (**), (***) suy ra (1) đúng với mọi a,b thuộc R
Cộng tác viên mà đi hỏi câu này!