Question

[Feliks Zemdegs]

Cho P(x) là đa thức có tất cả các hệ số là số tự nhiên bé hơn hoặc bằng 17 và có P(17)=2010. Tính P(x).

Answer 1

[Feliks Zemdegs]

Bài giải:

 Nhìn qua người ta tưởng lầm bài toán này khó lòng giải quyết được. Nhưng nếu hiểu rõ thì hs lớp 7 dư sức làm quá đi chứ. ĐS: P(x) = 6x^2 + 16x + 4. Tuy nhiên trình bày bài giải cũng hơi mệt nên nói cách làm thôi ạ. 
(Các số n, n-1, n-2,.. vui lòng hiểu là để trong ngoặc đơn kẻo lộn) 
Gọi P(x) = a_n . x^n + a_n-1 . x^n-1 + a_n-2 . x^n-2 + a_1.x + a_0 
với a_n, a_n-1, a_n-2,... a_1, a_0 là các hệ số tự nhiên bé hơn 17. (1) 
P(17) = 17^n. a_n + 17^n-1. a_n-1 + ... + 17.a_1 + a_0 
:::::::::= 17. (17^n-1. a_n + 17^n-2. a_n-1 + ... + 17.a_2 + a_1) + a_0 
:::::::::= 17. P_1(17) + a_0 = 2010 (gọi biểu thức trong ngoặc đơn là P_1(x) ) 
(1) => a_0 < 17 => a_0 = 4 (số dư khi chia 2010 cho 17) 
P_1(17) = 118 (phần nguyên khi chia 2010 cho 17) 

Tương tự với P_1(17): 
P_1(17) = 17.(17^n-2. a_n + 17^n-3 + ... + a_2) + a_1 
::::::::::::= 17. P_2(17) + a_1 = 118 (gọi bt trong ngoặc đơn là P_2(x) ) 
(1) => a_0 < 17 => a_1 = 16 (số dư khi chia 118 cho 17) 
P_2(17) = 6 < 17. (phù, quá trình kết thúc vì P_2(x) là 1 đa thức bậc 0 chỉ có hệ số tự do) 
=> a_2 = P_2(17) = 6 
Đa thức P(x) có bậc 2 và có dạng P(x) = 6x^2 + 16x + 4. 

Làm xong mỏi hết cả tay!!!