![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bạn viết từng bài một (viết 2 bài làm khó lắm vì dài sẽ không hiện lên) đi tớ làm cho !
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( do a;b > 0 )
Dấu "=" xảy ra khi :
\(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a. Xét hiệu $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi $(a-b)^2=0$ hay $a=b$.
b.
Xét hiệu $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}$
$=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Dấu "=" xảy ra khi $a-b=0$ hay $a=b$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Áp dụng bđt cosi ta có :
a/b + b/a >= \(2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)= 2
b, Tương tự câu (a) ta có : b/c + c/b >= 2 ; c/a + a/c >= 2
=> S - a/c + b/c + b/a + c/a + c/b + a/b = (a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c) >= 2+2+2 = 6
Tk mk nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Không giảm tính tổng quát, giả sử a > b => a = b + m (m > 0)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra khi m = 0 <=> a = b)
ta có (a-b)2\(\ge\)0
a2+b2\(\ge\)2ab (1)
ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
kết hợp với (1) ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b + m (m \(\ge\) 0).
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) a = b)
1 đ-ú-n-g nha, nghĩ mãi mới ra đó !
Ta có:
\(\frac{a}{b}>0\Rightarrow a,b\ne0\)
Giả sử: \(a\ge b\)Đặt: \(a=b+m\left(m\in N\right)\Rightarrow\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
\(=1+\frac{m}{b}+1-\frac{m}{b+m}=2+\frac{m}{b}-\frac{m}{b+m}\) Vì: \(b\le b+m\Rightarrow\frac{m}{b}\ge\frac{m}{b+m}\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(ĐPCM\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ưk,th1 và th2 đều cần thiết để chứng minh,đáng lẻ là có 1 trường hợp a<b nhưng mình cm là a>b rồi thì thôi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(+\)\(a=b\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{a}=1\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\)
\(a< b\Rightarrow b=a+m\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a}{a+m}+\frac{a+m}{a}\)
\(=\frac{a}{a+m}+1+\frac{m}{a}>1+\left(\frac{a}{a+m}+\frac{a}{a+m}\right)=1+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
\(a>b\)chứng minh tương tự như với\(a< b\)
Có\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
=>\(\frac{\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge2\)(đpcm)
Giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b +m (m \(\ge\) 0)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
Vì \(m,b\ge0\) nên \(\frac{m}{b}\ge\frac{m}{b+m}\)
Do đó \(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) a =b)
Đợi vài năm nữa tha hồ dùng cô si nhá