KM
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 4 2019
sửa lại b>0
Ta có ta có a/b + b/a \(\ge\) 2 (a^2 + b^2 )/ab \(\ge\) 2 a^2 + b^2 \(\ge\) 2ab =>a^2 -2ab + b^2 \(\ge\) 0 =>(a - b)^2 >= 0 luôn đúng suy ra điều phải chứng minh dấu '" = "' xảy ra khi và chỉ khi a = b
LT
1
3 tháng 4 2017
Quy đồng mẫu số ở vế trái:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Ta cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Chứng minh bất đẳng thức Cosi(lớp 8) : Ta luôn có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge0+2ab=2ab\)(1)
Từ (1) suy ra bài toán luôn đúng với mọi a,b hay \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow\)đpcm.
HV
0
DV
3
20 tháng 5 2015
Giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b +m (m \(\ge\) 0)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
Vì \(m,b\ge0\) nên \(\frac{m}{b}\ge\frac{m}{b+m}\)
Do đó \(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) a =b)
DV
1
20 tháng 5 2015
Bạn viết từng bài một (viết 2 bài làm khó lắm vì dài sẽ không hiện lên) đi tớ làm cho !
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 7
Lời giải:
a. Xét hiệu $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi $(a-b)^2=0$ hay $a=b$.
b.
Xét hiệu $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}$
$=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Dấu "=" xảy ra khi $a-b=0$ hay $a=b$
26 tháng 2 2018
a, Áp dụng bđt cosi ta có :
a/b + b/a >= \(2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)= 2
b, Tương tự câu (a) ta có : b/c + c/b >= 2 ; c/a + a/c >= 2
=> S - a/c + b/c + b/a + c/a + c/b + a/b = (a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c) >= 2+2+2 = 6
Tk mk nha
GN
24 tháng 10 2017
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)bài1
a) ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\) với mọi a,b\(\in\)N*
=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
b) tương tự ta có \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)(do a,b\(\in\)N*)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
bài 2 chịu
HH
3
1 tháng 9 2017
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{ac}{ca}}+2\sqrt{\frac{ab}{ba}}+2\sqrt{\frac{bc}{cb}}=2+2+2=6\)
Dấu"=" xảy ra khi a=b=c
1 tháng 9 2017
Lớp 6 chưa học bđt Cauchy nha bn kia
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-6\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}-2+\frac{b}{c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}+\frac{a^2-2ac+c^2}{ac}+\frac{c^2-2bc+b^2}{bc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)^2}{ac}+\frac{\left(c-b\right)^2}{bc}\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b;c\in N\))
Vậy \(S\ge6\)
\(+\)\(a=b\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{a}=1\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\)
\(a< b\Rightarrow b=a+m\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a}{a+m}+\frac{a+m}{a}\)
\(=\frac{a}{a+m}+1+\frac{m}{a}>1+\left(\frac{a}{a+m}+\frac{a}{a+m}\right)=1+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
\(a>b\)chứng minh tương tự như với\(a< b\)
Có\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
=>\(\frac{\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge2\)(đpcm)