Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáng lẽ là bé hơn hoặc bằng
(ax + by)2 = a2x2 + 2axby + b2y2
(a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
Ta cần chứng minh:
\(2axby\le b^2x^2+a^2y^2\)'
\(\Leftrightarrow0\le b^2x^2-2aybx+a^2y^2\)
<=> 0 \(\le\)(bx - ay)2 (đúng)
Vậy bđt đc chứng minh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+cz\left(z-x\right)}\)
Từ ax+by+cz=0
=>(ax+by+cz)2=0
=>a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2bycz+2czax=0
=>a2x2+b2y2+c2z2=-2(ax+by+byca+czax)
Xét mẫu thức: \(ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2\)
\(=ab\left(x^2-2xy+y^2\right)+bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ca\left(z^2-2zx+x^2\right)\)
\(=abx^2-2abxy+aby^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2+caz^2-2cazx+cax^2\)
\(=\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(aby^2+acz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)-2\left(abxy+bcyz+cazx\right)\)
\(=\left(aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)
\(=\left(a^2x^2+aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+b^2y^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2+c^2z^2\right)\)
\(=a\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+b\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+c\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
Do đó: \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2018}}=2018\) (dpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\Leftrightarrow a^2x^2+b^2c^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng!
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: (a2 + b2)(x2 + y2)
= (ax)2 + a2y2 + b2x2 + (by)2
= (ax + by)2 - 2abxy + a2y2 + b2x2
= (ax + by)2 + (a2y2 + b2x2 - 2abxy)
Mà (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
\(\Rightarrow\) a2y2 + b2x2 - 2abxy = 0
\(\Rightarrow\) \(\left(ay\right)^2-2.ay.bx+\left(bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\) \(\left(ay-bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\) \(ay=bx\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2=\left(ax\right)^2+2.ax.by+\left(by\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2=2.ay.bx\Rightarrow\left(ay\right)^2-2.ay.bx+\left(bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\Rightarrow ay-bx=0\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Xét hiệu:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)
\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)
\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)
\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
\(\Leftrightarrow ay=bx\)
\(\Leftrightarrow ay-bx=0\)
Ta có đpcm.
tháo ngoặc thu gọn đưa về 1 vế biến thành HĐT xong ,áp dụng thì bình phương lên là ra dạng