SN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 6 2019
\(xy+xz+yz=6xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}=a\\\frac{1}{y}=b\\\frac{1}{z}=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=6\)
\(T=\sum x\sqrt{\frac{x}{1+x^3}}=\sum\sqrt{\frac{x^3}{1+x^3}}=\sum\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{x^3}}}=\sum\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\sum\frac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}\)
\(\Rightarrow T\ge\sum\frac{2}{a+1+a^2-a+1}=\sum\frac{2}{a^2+2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{2}{a^2+2}\ge\frac{7-2a}{9}\) với mọi \(0< a< 6\)
Thật vậy, \(\frac{2}{a^2+2}\ge\frac{7-2a}{9}\Leftrightarrow18-\left(a^2+2\right)\left(7-2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3-7a^2+4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\left(2a+1\right)\ge0\) luôn đúng với mọi \(0< a< 6\)
Tương tự ta có: \(\frac{2}{b^2+2}\ge\frac{7-2b}{9}\) ; \(\frac{2}{c^2+2}\ge\frac{7-2c}{9}\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{21-2\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{21-12}{9}=1\)
\(\Rightarrow T_{min}=1\) khi \(a=b=c=2\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\). (1)
Theo bđt Bunhiakowski:
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\).
Tương tự: \(\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{zx}\); \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\).
Cộng vế với vế và kết hợp với gt x + y + z = 1 ta có (1) đúng.
Vậy ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2021
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)
Tương tự:
\(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx}\) ; \(\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge\left(x+y+z\right)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=...\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
SX
1
TN
2 tháng 6 2017
Câu hỏi của Minh Hà Tuấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
15 tháng 9 2023
Ta cần chứng minh:\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\)
Mặt khác, ta có:
\(\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(\left(x+y+xy\right)+\left(y+z+yz\right)+\left(z+x+zx\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+xy+yz+zx\right)\)Lại có:
\(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+3\right)=27\)
15 tháng 9 2023
\(\Rightarrow\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\le3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Do đó \(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).