Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\\b+c-a>0\end{matrix}\right.\)
BĐT đã cho tương đương:
\(\dfrac{a^2+2bc}{b^2+c^2}-1+\dfrac{b^2+2ac}{a^2+c^2}-1+\dfrac{c^2+2ab}{a^2+b^2}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{a^2+b^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-\left(a-c\right)^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}{a^2+c^2}+\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}{a^2+b^2}>0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
Ta có\(a>b-c\)
Mà a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a;b;c>0
\(\Rightarrow a^2>\left(b-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2>b^2-2bc+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2+2bc>0\)
Vậy \(a^2-b^2-c^2+2bc>0\)
Theo bất đẳng thức tam giác \(a>b-c\rightarrow a^2>\left(b-c\right)^2.\)
=> \(a^2>b^2-2bc+c^2\rightarrow a^2+2bc>b^2+c^2.\)
áp dụng bđt tam giác ta có :
a > b - c <=> a^2 > b^2 - 2bc + c^2 <=> a^2 + 2bc > b^2 + c^2
Theo bất đẳng thức tam giác:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)
Cộng các bất đẳng thức lại với nhau có điều cần CM
Bài toán này chỉ chứng minh được với điều kiện đó là tam giác vuông với 2 cạnh của góc vuông là a & b.
Lúc đó ta sẽ có:
a^2 + b^2 = c^2
Suy ra:
a^2 + b^2 - c^2 = 0 (1)
Đề bài là:
M = 4a^2b^2 – ( a^2+ b^2 – c^2)
Thay (1) vào:
M = 4a^2b^2 - 0
M = 4a^2b^2
M > 0 (hay M luôn dương).
Ta có \(a^2-b^2-c^2-2bc\)
\(=a^2-\left(b^2+2bc+c^2\right)\)
\(=a^2-\left(b+c\right)^2\)
Ta có \(a^2\ge0;\left(b+c\right)^2\ge0\)nên \(a^2-\left(b+c\right)^2\ge0\)
Khi đó hiệu trên luôn dương
Vậy....
\(a^2-b^2-c^2+2bc\)
\(=a^2-\left(b-c\right)^2\)
\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)