Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK; \(-1\le x\le3\)
Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\left(0\le t\le2\right)\)
\(pt\Leftrightarrow m+1=-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\)
\(\Leftrightarrow m+1=f\left(t\right)=t^2+4t\)
\(f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=12\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m+1\le maxf\left(t\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le m+1\le12\)
\(\Leftrightarrow-1\le m\le11\)
a, ĐK: \(x\le-1,x\ge3\)
\(pt\Leftrightarrow2\left(x^2-2x-3\right)+\sqrt{x^2-2x-3}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-2x-3}+3\right).\left(\sqrt{x^2-2x-3}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x-3}=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\\\sqrt{x^2-2x-3}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)
b, ĐK: \(-2\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\)
Khi đó phương trình tương đương:
\(3t-t^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2+x=8-4x\\2+x=17-4x+12\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\left(tm\right)\\5x-15=12\sqrt{2-x}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Vì \(-2\le x\le2\Rightarrow5x-15< 0\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{6}{5}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10}=x-3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\x^2-2\left(m+1\right)x+5m+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Pt đã cho có nghiệm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x\ge3\)
- Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(5m+1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2-3m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\) (1)
- Để 2 nghiệm của (1) thỏa mãn \(x_1\le x_2< 3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)+9>0\\x_1+x_2< 6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5m+1-6\left(m+1\right)+9>0\\2\left(m+1\right)< 6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< 2\)
\(\Rightarrow\) Để pt có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x\ge3\) thì \(m\ge2\) (2)
Kết hợp (1); (2) \(\Rightarrow m\ge3\)
\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(m\ge10\)
