Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Em có cách này không biết đúng không.Nếu sai đừng chửi e nha!Em mới lớp 7 thôi.
Từ đề bài suy ra \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow a\left(3-a\right)\ge0\Leftrightarrow3a\ge a^2\)
Tương tự với b và c ta được:
\(K\ge\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}=P\left(a;b;c\right)\)
Đặt \(t=\frac{b+c}{2}\),ta có:
\(P\left(a;t;t\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
\(=P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Xét hiệu:
\(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\left(\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\right)-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (anh tự c/m,phải có cái này mới có dấu "=")
Suy ra \(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)\ge\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2+4}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}=0\) (Khai căn cái mẫu ra)
Từ đây suy ra \(P\left(a;b;c\right)\ge P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=P\left(a;t;t\right)\)
Mặt khác,kết hợp giả thiết suy ra \(a+2t=3\Rightarrow a=3-2t\)
Do đó,ta cần tìm min của: \(P\left(3-2t;t;t\right)=\sqrt{\left(3-2t\right)^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
Đến đây em bí rồi ạ,để em suy nghĩ tiếp.
Giải xong bài này ra chắc chết... "." chấm cái nhẹ hóng cao nhân!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(Ta có: \(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\) Theo Cauchy: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) => \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1} {4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\) => \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{b+c}\right)\) Tương tự: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+c}\right)\) Và: \(\frac{1}{3a+3b+2c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\) => \(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)=\frac{1}{4}.2017\) => Pmax = 2017:4=504,25\)
Ta có: \(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\)
Theo Cauchy: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
=> \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\)
=> \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Và: \(\frac{1}{3a+3b+2c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)=\frac{1}{4}.2017\)
=> Pmax = 2017:4=504,25
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)
Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).
Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).
Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).
Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0
Tham khảo:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(3a^2+4ab+b^2=3a^2+3ab+ab+b^2=3a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)=\left(3a+b\right)\left(a+b\right)\)
xong AM -GM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\dfrac{a}{4-3a}+\dfrac{b}{4-3b}+\dfrac{c}{4-3c}=\dfrac{a^2}{4a-3a^2}+\dfrac{b^2}{4b-3b^2}+\dfrac{c^2}{4c-3c^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(=\dfrac{1}{4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Ta có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le4-\left(a+b+c\right)^2=4-1=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Casch2:đặt \(\left\{{}\begin{matrix}4-3a=x\\4-3b=y\\4-3c=z\end{matrix}\right.\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4-x}{3}\\b=\dfrac{4-y}{3}\\c=\dfrac{4-z}{3}\end{matrix}\right.\)\(x+y+z=9\)
\(=>P=\dfrac{4-x}{3x}+\dfrac{4-y}{3y}+\dfrac{4-z}{3z}=\dfrac{4}{3x}+\dfrac{4}{3y}+\dfrac{4}{3z}-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)\)
\(=\dfrac{\left(2+2+2\right)^2}{3.9}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3}\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=3<=>a=b=c=1/3
Uầy, đề có sai ko nhỉ? Nếu đề như vầy thì biểu thức \(K=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)+3=3\sqrt{3}+3\) luôn rồi chứ tìm gì nữa..