Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Sai đề ở vế phải. Cái này tôi làm rồi nên biết: 819598 (học 24)
BDT cần cm tương đương
\(\frac{\left(2+6a+3b+6\sqrt{2bc}\right)\left(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge16\)
Áp dụng bdt C-S và AM-GM:
\(VT=\frac{\left(2+6a+3b+6\sqrt{2bc}\right)\left(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\)
\(=\left(\frac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}+3\right)\left(\sqrt{2\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)}+3\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}}+3\right)\left(\frac{2}{2a+b+b+2c}+3\right)\)
\(=\left(a+b+c+3\right)\left(\frac{1}{a+b+c}+3\right)\)
\(\ge\left(3+1\right)^2=16=VP\)
dau '=' khi a+b+c=1, b=a+c, 2c=b bn tự giải not
Chuyên toán Vĩnh Phúc đây mà :) Em chụp lại nha,chớ e mà viết ra nhiều người nhảy vào cà khịa ghê lắm:(
Chắc là a;b;c dương
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\) và vế trái là P
\(P=\frac{x}{\sqrt{z\left(3x+y\right)}}+\frac{y}{\sqrt{x\left(3y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt{y\left(3z+x\right)}}=\frac{x^2}{x\sqrt{3xz+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+xz}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{3xz+yz}+y\sqrt{3xy+xz}+z\sqrt{3yz+xy}}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{Q}\)
\(Q=\sqrt{x\left(3x^2z+xyz\right)}+\sqrt{y\left(3xy^2+xyz\right)}+\sqrt{z\left(3yz^2+xyz\right)}\)
\(\Rightarrow Q^2\le3\left(x+y+z\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Rightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Rightarrow zx^2+yz^2\le xyz+xz^2\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le xy^2+2xyz+xz^2\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le x\left(y+z\right)^2=\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Rightarrow Q^2\le3\left(x+y+z\right).\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3=\frac{4}{9}\left(x+y+z\right)^4\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Biểu thức b chắc ghi nhầm, 1 căn dấu trừ thì hợp lý
\(a^3=6+3a.\sqrt[3]{9-4.2}=3a+6\Rightarrow a^3-3a=6\)
\(b^3=34+3b.\sqrt{17^2-12^2.2}=3b+34\Rightarrow b^3-3b=34\)
\(\Rightarrow A=a^3-3a+b^3-3b=6+34=40\)
2/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y^2-x^2=1\\2x^3-y^3=1.\left(2y-x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2x^3-y^3=\left(2y^2-x^2\right)\left(2y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+2x^2y+2xy^2-5y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+3xy+5y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\Rightarrow2x^2-x^2=1\Rightarrow...\\x^2+3xy+5y^2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{3y}{2}\right)^2+\frac{11y^2}{4}=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) thay vào hệ ko thỏa mãn (loại)
\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(m+n\right)=mn\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=m^2-4n\\\Delta_2=n^2-4m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\Delta_1+\Delta_2=m^2+m^2-4\left(m+n\right)\)
\(=m^2+n^2-2mn=\left(m-n\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) Luôn có ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm nên luôn có ít nhất 1 trong 2 pt trên có nghiệm \(\Rightarrow\) pt luôn luôn có nghiệm
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{3}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)
\(\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)
\(\ge\frac{\left(1+2+1+2+2\right)^2}{2\sqrt{3c+2a}+3\sqrt{b}+\sqrt{a}}\)
\(\ge\frac{64}{\sqrt{\left(1+2^2+3\right)\left(a+2a+3c+3b\right)}}\)
\(=\frac{64}{\sqrt{24\left(a+c+b\right)}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}=VF\)
Chúc bạn học tốt !!!
Mình nghĩ là:
a = 1
b = 2
c = 4