![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2=\frac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
Vậy GTNN của A = 25/2 tại x = y = 1/2
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=x^2+\frac{1}{x^2}+2+y^2+\frac{1}{y^2}+2\)
\(=4+\left(x^2+y^2\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge4+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2\sqrt{\frac{1}{\left(xy\right)^2}}\)
\(=4+\frac{1}{2}+\frac{2}{xy}\ge4+\frac{1}{2}+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=4+\frac{1}{2}+8=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)(1)
Lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(2)
Từ (1) và (2) => \(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy MinA = 18
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giờ thì chứng minh thôi:3
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)
=> Min P=18
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Từ \(xy+x+y=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=x^2+xy+x+y=x(x+y)+(x+y)=(x+1)(x+y)\\ y^2+1=y^2+xy+x+y=y(x+y)+(x+y)=(y+1)(x+y)\end{matrix}\right.\)
Mà \(xy+x+y=1\Rightarrow x(y+1)+(y+1)=2\Rightarrow (x+1)(y+1)=2\)
Do đó:
\(x\sqrt{\frac{2(y^2+1)}{x^2+1}}+y\sqrt{\frac{2(x^2+1)}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(y+1)(x+y)}{(x+1)(x+y)}}+y\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(x+1)(x+y)}{(y+1)(x+y)}}+\sqrt{\frac{(x+1)(x+y)(y+1)(x+y)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(=x\sqrt{(y+1)^2}+y\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+y)^2}\)
\(=x(y+1)+y(x+1)+x+y=2xy+2x+2y=2(xy+x+y)=2.1=2\)
CÁI NÀY mk lm rồi
x^2+2xy+y^2=10
x^2+y^2=10-2xy