Question

[vương gia kiệt]

cho tam giac ABC nhon, D thuoc BC. Dat BC=a, CA=b, AB=c, AD=d, BD=m, DC=n. CMR \(d^2a=b^2m+c^2n-amn\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

* Giả sử D thuộc cạnh HC (tương tự đối với D thuộc đoạn HB)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác AHB và AHD vuông tại A, ta có: \(c^2-BH^2=d^2-HD^2\left(=AH^2\right)\)

\(\Rightarrow d^2=c^2-\left(BH^2-HD^2\right)=c^2-\left(BH-HD\right)\left(BH+HD\right)=c^2-BD\left(BH-HD\right)=c^2-m\left(BH-HD\right)\)\(\Rightarrow d^2n=c^2n-mn\left(BH-HD\right)\)(1)

Tương tự, ta có: \(b^2-HC^2=d^2-HD^2\Rightarrow d^2=b^2-\left(HC^2-HD^2\right)=b^2-\left(HC+HD\right)\left(HC-HD\right)=b^2-CD\left(HC+HD\right)=b^2-n\left(HC+HD\right)\)\(\Rightarrow d^2m=b^2m-mn\left(HC+HD\right)\)(2)

Cộng theo vế hai đẳng thức (1) và (2), ta được: \(d^2\left(m+n\right)=b^2m+c^2n-mn\left(BH-HD+HC+HD\right)\)

hay \(d^2a=b^2m+c^2n-amn\left(đpcm\right)\)