Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Ta có : \(A^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương,ta có ;
\(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2.x^2.y.z}{yz}}=4x\)
Tương tự : ....
\(\Rightarrow A^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\ge36\)
\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 4
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)
Khi đó \(a^2+b^2+c^2\ge12\) ta cần tìm GTNN của \(A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\left(a+b+c\right)}\)
Ta có:\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ( cơ bản )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge12-\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh được \(a+b+c\le6\) là OKE nhưng có vẻ không ổn lắm :))
trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)
Áp dung BĐT co- si, ta có:
\(y+z\le\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\)
D đó: \(\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
tương tự: \(\frac{y^2}{z+x}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}},\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Đặt : \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{x^2+z^2}=c\left(a,b,c>0\right)\)
Khi đó: \(T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\left(\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}-b\right)+\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)+\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2a}-a\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+c\right)-3b+2\left(a+b\right)-3c+2\left(b+c\right)-3a\right)\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2017}{2}}\)
\(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=xyz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Có : \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+x^2}}\le\frac{1}{2.\sqrt{\frac{x^2y}{xyz}}}\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+y^2}}\le\frac{1}{2\sqrt{\frac{y^2z}{xyz}}}\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+z^2}}\le\frac{1}{2\sqrt{\frac{z^2x}{xyz}}}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3}{2}\)
Vậy P max = 3/2
