Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
c) \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ax\right)^2+2axby+\left(by\right)^2\le\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2axby\le\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay\right)^2-2axby+\left(bx\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
a/ \(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+b^2y^2+2axby\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2ay.bx+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
Đáng lẽ là bé hơn hoặc bằng
(ax + by)2 = a2x2 + 2axby + b2y2
(a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
Ta cần chứng minh:
\(2axby\le b^2x^2+a^2y^2\)'
\(\Leftrightarrow0\le b^2x^2-2aybx+a^2y^2\)
<=> 0 \(\le\)(bx - ay)2 (đúng)
Vậy bđt đc chứng minh
Ta có:
\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2aybx\ge0\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2\ge2aybx\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2x^2+b^2y^2\ge2aybx+a^2x^2+b^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2x^2+a^2y^2\right)+\left(b^2y^2+b^2x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(y^2+x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\rightarrowđpcm\)
Lên gg gõ: bđt bunhiacopxki nhé bạn. Chứng minh theo cách đưa về bp.
Lời giải :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)