D
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HP
30 tháng 4 2017
Có a,b,c>0;a+b>c,b+c>a,c+a>b
=>a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0
=>c2(a+b-c)>0,a2(b+c-a)>0,b2(c+a-b)>0
=>c2(a+b-c)+a2(b+c-a)+b2(c+a-b)>0
=>(đẳng thức đề bài) > 0
15 tháng 10 2021
1.
\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)
Từ đó ta được đpcm
NM
1
KN
28 tháng 1 2020
a,b,c > 0 nên 2a + b >0; 2b + c > 0; 2c + a > 0
Áp dụng BĐT Cauchy- schwarz:
\(VT=\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{2a+b}\ge\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
QK
8 tháng 4 2017
a2b+ab2-2abc +b2c+bc2-2abc+ac2+a2c-2abc
=b(a2-2ac+c2) +a(b2-2bc+c2)+c (a2-2ab+b2)
= b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)2 vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác=) a,b,c>0
b(a-c)2\(\ge0\) \(\forall a,b,c\)
a(b-c)2\(\ge0\)\(\forall a,b,c\)
c(a-b)2\(\ge0\forall a,b,c\)
WB
0
\(\frac{3}{a+2b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\le\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự:\(\frac{3}{b+2c}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)
Cộng theo vế ta được:
\(\frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)