Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{b+c}=\dfrac{4}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{c+a}=\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế và rút gọn suy ra đpcm
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ
\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
Sau đó làm tiếp như bài đó là được
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) ( Svac-xơ, Cauchy các kiểu -,- )
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}}{2}=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\) ( đpcm )
...
\(2VP=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
\(\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VT\)
Từ đây,ta có: \(2VT\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)