Question

[Snowflakes]

Cho a thuộc N a không là số chính phương.Chứng minh \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ

Answer 1

[OoO Kún Chảnh OoO]

G/s căn a là số hữ tỉ

=> căn a viết dưới dạng b/c ( trong đó UCLN ( b,c) = 1)

=> ( căn a)^2 = b^2 / c^2 

=> a = b^2/c^2 

=> a.c^2 = b^2 => b^2 chia hết cho a => b chia hết cho a (1)

b chia  hết cho a => b = at 

TA có b^2 = a.c^2 => (at)^2  = a.c^2 => a^2.t^2 = a. c^2 =>  c^2 = a.t^2 => c chia hết cho a (2) 

Từ (1) và (2) => b và c chia hết cho a => a và b có UC là a 

theo g/s UCLN a,b = 1 trái với G/s 

=> căn a là số vô tỉ

Answer 2

[Gukmin]

Trả lời:

+ Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ\)

\(\Rightarrow a=\frac{m}{n}\)với\(\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ\)

+ Vì a không là số chính phương

\(\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ\)

\(\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ\)

\(\Rightarrow n>1\)

+ Vì \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)

\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow m^2=an^2\)

+ Vì \(n>1\)

\(\Rightarrow\)Giả sử n có ước nguyên tố là p

Mà\(n\inℕ\)

Mà\(m^2=an^2\)

\(\Rightarrow m⋮p\)

\(\Rightarrow\)m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)

\(\Rightarrow\)Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)sai

\(\Rightarrow\sqrt{a}\in I\)

Vậy nếu \(a\inℕ\)và a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\)là số vô tỉ.

Hok tốt!

Good girl