Question

[Lisaki Nene]

Với m,n là các số nguyên và \(n \neq 0\).

Chứng tỏ C=405ⁿ+2⁴⁰⁵+m² không chia hết cho 10

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Với \(n\ne0\) thì \(405^n=\overline{.....5}\) chia \(10\) dư \(5\)

\(2^{405}=4^{202}.2=\overline{.....6}.2=\overline{.....2}\) chia \(10\) du \(2\)

\(\Rightarrow405^n+2^{405}\) chia \(10\) dư \(7\)

Xét \(m=10k+1\) thì \(m^2=100k^2+20k+1\) chia \(10\) dư \(1\)

\(\Rightarrow405^n+2^{405}+m^2\) chia \(10\) dư \(8\)

Xét \(m=10k+2\) thì  \(m^2=100k^2+40k+4\) chia \(10\) dư \(4\)

\(\Rightarrow405^n+2^{405}+m^2\)chia \(10\) dư \(1\)

Xét \(m=10k+3\) thì \(m^2=100k^2+60k+9\) chia \(10\) dư \(9\)

\(\Rightarrow405^n+2^{405}+m^2\) chia \(10\) dư \(6\)

Xét \(m=10k+4\) thì \(m^2=100k^2+80k+16\) chia \(10\) dư \(6\)

\(\Rightarrow405^n+2^{405}+m^2\) chia \(10\) dư \(3\)

................... 

Xét \(m=10k+9\) thì \(m^2=100k^2+180k+81\) chia \(10\) dư \(1\)

\(\Rightarrow405^n+2^{405}+m^2\) chia \(10\) dư \(8\)

Từ các điều trên \(\Rightarrow405^n+2^{405}+n^2\) luôn không chia hết cho \(10\)

Answer 2

[Kano Kanjaki]

Ta có:

\(C={405}^n+{2^{405}}+{m}^2\)

   \(={(...5)}+{2}^{4.101+3}+{m}^2\)

   \(=(...5)+(...8)+{m}^2\)

    \(=(..3)+{m}^2\)

m là số nguyên => m^2 là số chính phương

=> m^2 ko tận cùng là 7

=> C ko tận cùng là 0

=> C ko chia hết cho 10

P/s: Tham khảo:Tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa( ở câu tl của Đường Quỳnh Giang) ở link:

https://olm.vn/hoi-dap/question/1134742.html