Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Leftrightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Leftrightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự, ta được: \(\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}\); \(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên, ta được: \(P=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)\(\le\frac{\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}}{2}=\frac{3}{2}\)(BĐT Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
1)
+) Ta có
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
+ ) Theo phần trên
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
2,
Ta có: \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)+5\left(y+z\right)^2=28yz\le7\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)-2\left(y+z\right)^2\le0\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}-2\le0\)\(\Leftrightarrow\left(5.\frac{x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(5.\frac{x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\))
\(\Rightarrow E=\frac{2x-y-z}{y+z}=2.\frac{x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{4}\)