Question

[Thùy Hương]

Tính giá trị của hàm số y = arctg(1+x/1-x)-arctgx với x khác 1 (đây là đề)

Answer 1

[KhảTâm]

\(y'=\frac{\left(\frac{x+1}{-x+1}\right)}{1+\left(\frac{x+1}{-x+1}\right)^2}-\frac{1}{1+x^2}=\frac{2}{\left(1-x\right)^2}.\frac{\left(1-x\right)^2}{\left(1-x\right)^2+\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{1+x^2}\)\(=\frac{2}{2\left(1+x^2\right)}-\frac{1}{1+x^2}=0;\forall x\ne1\)

- Xét \(x\in\left(-\infty,1\right):y'=0,\forall x\in\left(-\infty,1\right)\)nên y là hằng số trên \(\left(-\infty,1\right)\)

mà \(y\left(0\right)=arctg1-arctg0=\frac{\eta}{4}-0=\frac{\eta}{4}\Rightarrow y=\frac{\eta}{4},\forall x\in\left(-\infty,1\right)\)(n số pi ở đây không chắc là đúng chưa mình mở vô hộp có kí tự số pi rồi mà thấy kí tự có hơi lạ lạ, thông cảm nhá)

- Xét \(x\in\left(1,\infty\right):y'=0,\forall x\in\left(1,\infty\right)\)

\(\Rightarrow y\)là hằng số trên \(\left(1,\infty\right)\)

\(\Rightarrow arctg\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-arctgx=k,\forall x\in\left(1,\infty\right)\)

Cho \(x\rightarrow\infty\)thì \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\rightarrow-1:arctg\left(-1\right)-\frac{\eta}{2}=k\Rightarrow k=-\frac{\eta}{4}-\frac{\eta}{2}=-\frac{3\eta}{4}\)

Do đó \(y=-\frac{3\eta}{4},\forall x\in\left(1,\infty\right).\)

Vậy \(y=\hept{\begin{cases}\frac{\eta}{4}\left(neux< 1\right)\\-\frac{3\eta}{4}\left(neux>1\right)\end{cases}}\)nếu đó nha.