Question

[☘ Nhạt ☘]

Tìm số nguyên n sao cho A=\(3n^2+3n-101\)là lập phương của một số nguyên.

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Đặt \(3n^3+3n-101=a^3\)

\(\Leftrightarrow3n\left(n+1\right)-101=a^3\)

Thấy \(3n\left(n+1\right)\) là số chẵn,\(101\) lẻ nên \(n^3\) là số lẻ

Đặt \(n=2k+1\)

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n\right)-101=8k^3+12k^2+6k+1\)

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n-34\right)=8k^3+12k^2+6k\)

Thấy VT chia hết cho 3;\(12k^2+6k\) chia hết cho 3 nên \(8k^3\) chia hết cho 3

Mà \(\left(8;3\right)=1\Leftrightarrow k⋮3\)

Đặt \(k=3m\) ta có:

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n-34\right)=8\cdot27m^3+12\cdot9m^2+6\cdot3m\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-34=6\left(12m^3+6m^2+m\right)\)

Nếu n chia hết cho 3 thì VT chia 3 dư 2 trong khi đó VP chia hết cho 3 ( loại )

Nếu m chia 3 dư 1 thì VT chia 3 dư 1 trong khi đó VP chia hết cho 3 ( loại )

Nếu m chia 3 dư 2 thì VT chia 3 dư 2 trong khi đó VP chia hết cho 3  ( loại )

Vậy không tồn tại n nguyên thỏa mãn đề bài.