Y
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TQ
2
18 tháng 5 2016
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
<=> \(\frac{y+x}{xy}=\frac{1}{2}\)
<=> \(2x+2y=xy\)
<=> \(2x-xy+2y=0\)
<=> \(x\left(2-y\right)+2y-4+4=0\)
<=> \(x\left(2-y\right)-2\left(2-y\right)=-4\)
<=>\(\left(x-2\right)\left(2-y\right)=-4\)
x;y duong nen ta co x-2 va 2-y la cac uoc cua -4
| x-2 | 1 | -1 | 2 | -2 | 4 | -4 | ||||||
| 2-y | -4 | 4 | -2 | 2 | -1 | 1 | ||||||
| x | ||||||||||||
| y |
HT
18 tháng 5 2016
Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2x+2y}{2xy}=\frac{xy}{2xy}\Rightarrow2x+2y=xy\)
\(\Rightarrow2y-xy=-2x\)
\(\Rightarrow y\left(2-x\right)=-2x\)
\(\Rightarrow y=-\frac{2x}{2-x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x}{x-2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x-4+4}{x-2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2\left(x-2\right)+4}{x-2}\)
\(\Rightarrow y=2+\frac{4}{x-2}\)
Vì y là số nguyên dương nên \(2+\frac{4}{x-2}\) dương
\(\Rightarrow\frac{4}{x-2}\) dương \(\Rightarrow x-2\in\text{Ư}\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)
\(x-2=1=>x=3\left(tm\right)\)
\(x-2=2=>x=0\left(lo\text{ại}\right)\)
\(x-2=4=>x=6\left(tm\right)\)
* Với \(x=3\Rightarrow y=2+\frac{4}{3-2}=2+4=6\left(tm\right)\)
*Với \(x=6=>y=2+\frac{4}{6-2}=2+1=3\left(tm\right)\)
Vậy các cặp số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) cần tìm là \(\left(3;6\right);\left(6;3\right)\)
11 tháng 3 2018
áp dùng BDT cô si chúa Pain có
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\Rightarrow xy\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2.\)
mà \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{2}\ge\Rightarrow xy\ge4\)
b)
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
lấy từ câu A ta có \(xy\ge4\) " câu a"
suy ra
\(x+y\ge2\sqrt{4}=4\)
4 tháng 4 2017
Câu 2/
\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)
Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)
Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)
Dấu = xảy ra khi \(x^2=y^2=z^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)
Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)
\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)
4 tháng 4 2017
Bài 2/
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.
TI
2
15 tháng 4 2018
x/y+y/x=x^2+y^2/xy sử dụng bdt cosi =>x^2+y^2/xy+xy/x^2+y^2>=1
1 tháng 12 2019
ta có: \(M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{xy}\cdot\frac{xy}{x^2+y^2}}=2\cdot\sqrt{1}=2\cdot1=2.\)
(Ở đây mình áp dụng BĐT Cauchy: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)nhé!)
Học tốt! ^3^
13 tháng 12 2018
\(A=\left(1+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}.2\sqrt{\frac{y^2}{x^2}}=2.\frac{x}{y}.2.\frac{y}{x}=4\) ( Cosi )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
...
NT
1
S
20 tháng 4 2019
\(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}=\frac{5}{19}\Leftrightarrow19\left(x+y\right)=5\left(x^2+xy+y^2\right)\) (*)
từ pt (*) ta thấy \(19\left(x+y\right)⋮5\) mà (19,5)=1 \(\Rightarrow x+y⋮5\Rightarrow x+y=5k\left(k\in Z\right)\)
Thay x+y=5k vào (*) ta được: \(x^2+xy+y^2=19k\) (1)
Lại có: \(x+y=5k\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=25k^2\) (2)
Lấy (2) - (1) ta có: \(xy=25k^2-19k\)
Xét \(\left(x+y\right)^2-4xy=\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow25k^2-4\left(25k^2-19k\right)\ge0\Leftrightarrow75k^2-76k\le0\)
\(\Leftrightarrow0\le k\le\frac{76}{75}\Rightarrow k\in\left\{0;1\right\}\)
-Nếu k=0 thì \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}}\)
-Nếu k=1 thì \(\hept{\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)}\)
\(\frac{x}{5}-\frac{2}{y}=\frac{2}{15}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{y}=\frac{x}{5}-\frac{2}{15}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{y}=\frac{3x-2}{15}\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)y=30\)
Lập bảng tìm nhé