Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BPT xác định khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1.
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–1}
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=xy\left(1-x\right)\left(1-y\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)\left(x+y\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1\right)\)
Ta có : \(\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)\left(x+y\right)\ge4xy\)
và \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)=1-\left(x+y\right)+xy\le1-2\sqrt{xy}+xy\)
\(\Rightarrow1-2\sqrt{xy}+xy\ge4xy\Leftrightarrow0\) <\(xy\le\frac{1}{9}\)
Dễ chứng minh : \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\le\frac{1}{1+xy};\left(x,y\in\left(0;1\right)\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\right)}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{1+xy}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+xy}}\)
\(3xy-\left(x^2+y^2\right)=xy-\left(x-y\right)^2\le xy\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\sqrt{1+xy}}+xy=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\), \(\left(t=xy\right)\), (0<\(t\le\frac{1}{9}\)
Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=\frac{2}{\sqrt{t+1}}+t\) , (0<\(t\le\frac{1}{9}\)
Ta có Max \(f\left(t\right)=f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{6\sqrt{10}}{10}+\frac{1}{9}\), \(t\in\left(0;\frac{1}{9}\right)\)
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{0; –1}
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)
\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/3
giải bpt \(4\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}< 2x+\frac{1}{2x}+2\)
cho e hỏi là có thể bình phương dc ko ạ
Hai vế đều dương, bình phương thoải mái bạn, có điều hơi lâu
ĐKXĐ: \(x>0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)< \frac{1}{2}\left(4x+\frac{1}{x}\right)+2\)
Đặt \(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=t\ge2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow4x+\frac{1}{x}=t^2-4\)
\(2t< \frac{1}{2}\left(t^2-4\right)+2\Leftrightarrow t^2-4t>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t< 0\\t>4\end{matrix}\right.\) kết hợp điều kiện t ta được \(t>4\)
\(\Rightarrow2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}>4\Leftrightarrow2x+1>4\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow4x^2-12x+1>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x>\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
Kết hợp ĐKXĐ ta được nghiệm của BPT đã cho là:
\(\left[{}\begin{matrix}0< x< \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x>\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m+2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-7>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\\m< -1\end{matrix}\right.\) (1)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
Để \(x_1< x_2< 1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1>0\\\dfrac{m-1}{2}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4>0\\m< 3\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với (1) ta được: \(m< -1\)
ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1
\(\frac{1}{x}< 1-\frac{x-1}{x+1}\)
⇔ \(\frac{1}{x}< \frac{x+1-x+1}{x+1}\)
⇔ \(\frac{1}{x}< \frac{2}{x+1}\)
⇔ \(\frac{x+1}{2}< x\)
⇔ x + 1 < 2x
⇔ 1 < x
Kết hợp với ĐKXĐ ta suy ra ĐKC là x > 1
Vậy...