Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Điều kiện xác định của pt :
\(\begin{cases}x^2+5x+4\ge0\\x^2+5x+2\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\le-4\\x\ge-1\end{array}\right.\)
Ta có : \(x^2+5x-\sqrt{x^2+5x+4}=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)-\sqrt{x^2+5x+4}-2=0\)(1)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+5x+4},t\ge0\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-t-2=0\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=-1\left(\text{loại}\right)\\t=2\left(\text{nhận}\right)\end{array}\right.\)
Với t = 2 ta có pt : \(x^2+5x+4=4\Leftrightarrow x\left(x+5\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\left(\text{nhận}\right)\\x=-5\left(\text{nhận}\right)\end{array}\right.\)
Vậy tập nghiệm của pt : \(S=\left\{-5;0\right\}\)
b) Điều kiện xác định của pt :
\(\begin{cases}x^2-3x+2\ge0\\x+3\ge0\\x-2\ge0\\x^2+2x-3\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x\ge2\)
Ta có ; \(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+03}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}\right)-\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}=0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\left(\text{nhận}\right)\\-2=-3\left(\text{vô lí - loại}\right)\end{array}\right.\)
Vậy pt có nghiệm x = 2
Bạn xem lại đề câu b và c nhé !
a) \(\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\) \(\left(ĐK:x\ge2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+4>x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow6x>0\Leftrightarrow x>0\) kết hợp với ĐKXĐ
\(\Rightarrow x\ge2\) thỏa mãn đề.
d) \(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)
\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge3,z\ge5\)
Pt tương đương :
\(\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
e) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (1)
\(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge1,z\ge2\)
Phương trình (1) tương đương :
\(x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )
f) ĐKXĐ: \(x\ge-\frac{3}{2}\)
Khi đó VT > 0 nên \(VT>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le-3\left(L\right)\end{matrix}\right.\)
Lũy thừa 6 cả 2 vế lên PT tương đương:
\( \left( x-3 \right) \left( {x}^{11}+9\,{x}^{10}+6\,{x}^{9}-142\,{x}^{ 8}-231\,{x}^{7}+1113\,{x}^{6}+2080\,{x}^{5}-4604\,{x}^{4}-6908\,{x}^{3 }+13222\,{x}^{2}+10983\,x-15327 \right) =0\)
Cái ngoặc to vô nghiệm vì nó tương đương:
\(\left( x-2 \right) ^{11}+31\, \left( x-2 \right) ^{10}+406\, \left( x -2 \right) ^{9}+2906\, \left( x-2 \right) ^{8}+12281\, \left( x-2 \right) ^{7}+31031\, \left( x-2 \right) ^{6}+46656\, \left( x-2 \right) ^{5}+46648\, \left( x-2 \right) ^{4}+46452\, \left( x-2 \right) ^{3}+44590\, \left( x-2 \right) ^{2}+36015\,x-55223 = 0\)(vô nghiệm với mọi \(x\ge2\))
Vậy x = 3.
PS: Nghiệm đẹp thế này chắc có cách AM-Gm độc đáo nhưng mình chưa nghĩ ra
@Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm
giúp em vs ạ! Cần gấp ạ
em cảm ơn nhiều!
\(\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}}\right)}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}+\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{3.7}+7}+\sqrt{3-2\sqrt{3.7}+7}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)^2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{7}|+|\sqrt{3}+\sqrt{7}|}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(A=\)\(\frac{\sqrt{x+2+x-2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}}{\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+x+2}\) \(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\right)^2}}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{6}+5}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Thứ nhất : Phép biến đổi ở dòng thứ 6 từ trên xuống là phép biến đổi không tương đương vì mẫu số có thể = 0 khi đó xuất hiện nghiệm ngoại lai cụ thể ở đây là nghiệm y = 2x nếu thay vào mẫu sẽ = 0 vô nghĩa và rõ ràng không thỏa mãn pt đầu. Do đó cần phải biện luận hoặc thử lại cẩn trọng
Thứ hai: Dòng cuối cùng không có lý do cho rằng thừa số thứ 2 # 0
Với hệ này ta có thể thực hiện phép biến đổi đơn giản hơn như sau:
Nhân 2 vế pt thứ nhất với lượng √(y² + 4) - y > 0 và rút gọn lại ta có:
4x√(y² + 4) - 4xy + 4xy + 4y√(x² + 1) = 0
<=> y√(x² + 4) = - x√(y² + 4) => x, y trái dấu nhau
Bình phương 2 vế rút gọn có : 4x² = y² => y = - 2x thỏa pt thứ nhất.
Thay vào pt thứ hai:
(4 - y)√(y + 1) + y√(3 - y) = y - 1 (*) ( với - 1 ≤ y ≤ 3)
Nếu 0 ≤ y ≤ 1 thì VT > 0; VP ≤ 0 do đó xét 2 trường hợp:
a. Nếu - 1 ≤ y < 0 thì (*) tương đương vs:
(4 - y)√(y + 1) + (y + 1)√(3 - y) + 1 - y - √(3 - y) = 0
<=> (4 - y)√(y + 1) + (y + 1)√(3 - y) + (y + 1)(y - 2)/[1 - y + √(3 - y)] = 0
@ y + 1 = 0 => y = - 1 => x = 1/2
@ (4 - y) + √(y + 1)√(3 - y) + (y - 2)√(y + 1)/[1 - y + √(3 - y)] = 0 (1)
Dùng pp đánh giá với - 1 ≤ y < 0 ta có : (4 - y) + √(y + 1)√(3 - y) > 4
y - 2 ≥ - 3 ; 0 ≤ y + 1 < 1 ; 1 - y + √(3 - y) > 1
=> (y - 2)√(y + 1)/[1 - y + √(3 - y)] > - 3 => VT của (1) > 1 => (1) vô nghiệm
b. Nếu 1 < y ≤ 3 thì (*) tương đương vs
(3 - y)√(y + 1) + y√(3 - y) + √(y + 1) - (y - 1) = 0
<=> (3 - y)√(y + 1) + y√(3 - y) + y(3 - y)/[√(y + 1) + (y - 1)] = 0
@ 3 - y = 0 => y = 3 => x = - 3/2
@ √(3 - y)√(y + 1) + y + y√(3 - y)/[√(y + 1) + (y - 1)] = 0 vô nghiệm
KL : Hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (1/2; - 1); ( - 3/2; 3)
_______Xuân Toàn___________