Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Theo công thức diện tích quen thuộc:
\(S_1=S_{MAB}=\frac{1}{2}MB.MA.\sin \widehat{AMB}\)
\(S_2=S_{MAC}=\frac{1}{2}.MC.MA\sin \widehat{AMC}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2}=\frac{MB}{MC}.\frac{\sin \widehat{AMB}}{\sin (180-\widehat{AMB})}=\frac{MB}{MC}=\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow {MC}}\)
\(\Rightarrow S_1\overrightarrow{MC}=S_2\overrightarrow{BM}\)
\(\Leftrightarrow S_1(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})=S_2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM})\)
\(\Leftrightarrow S_1\overrightarrow{AC}-S_2\overrightarrow{BA}=S_2\overrightarrow{AM}-S_1\overrightarrow{MA}\)
\(\Leftrightarrow S_1\overrightarrow{AC}+S_2\overrightarrow{AB}=(S_1+S_2)\overrightarrow{AM}\) (đpcm)
a) Giả sử \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) (đúng do tứ giác ABCD là hình bình hành).
b) \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\).
Do các tứ giác AMOE, MOFB, OFCN, EOND cũng là các hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{BM};\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ED}\).
Do đó: \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\) (Đpcm).
