Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a,\hept{\begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8\end{cases}}\)
\(x^2-3y=2\)
\(y=\frac{1^2-2}{3}\)
\(9-\left(\frac{x^2-2}{3}\right)^2-8x=8\)
\(\Rightarrow x^4-4x^2+4-8x-8=0\)
\(\Rightarrow x^4-4x^2-8x-4=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2x-2\right)\left(x^2+2x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{2+2\sqrt{3}}{3}\\y=\frac{2-2\sqrt{3}}{3}\end{cases}}\)
Vậy ................................
Bài 2:
Với $x,y,z$ nguyên dương ta thấy:
\((x+y)^2+3x+y+1> (x+y)^2(1)\)
Và:
\((x+y)^2+3x+y+1< (x+y)^2+4(x+y)+4\)
hay $(x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2(2)$
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y)^2< (x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2\)
Theo nguyên lý kẹp suy ra $z^2=(x+y+1)^2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay vào PT ban đầu:
\((2x)^2+3x+x+1=z^2\Leftrightarrow (2x+1)^2=z^2\Rightarrow 2x+1=z\) (không có TH $2x+1=-z$ do $x,z$ cùng nguyên dương)
Vậy PT có nghiệm $(x,y,z)=(m,m,2m+1)$ với $m$ là số nguyên dương bất kỳ.
Lời giải:
Xét
PT \(\Leftrightarrow x^3=y^3+2y^2+3y+1\)
Ta thấy:
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3+3y^2+3y+1)-y^2=(y+1)^3-y^2\leq (y+1)^3(1)\)
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3-3y^2+3y-1)+5y^2+2=(y-1)^3+5y^2+2\)
\(>(y-1)^3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (y+1)^3\geq y^3+2y^2+3y+1> (y-1)^3\)
\(\Leftrightarrow (y+1)^3\geq x^3> (y-1)^3\)
Theo nguyên lý kẹp thì \(\left[\begin{matrix} x^3=(y+1)^3\\ x^3=y^3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x^3=(y+1)^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=(y+1)^3\)
\(\Leftrightarrow y=0\)
\(\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\)
Nếu \(x^3=y^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=y^3\)
\(\Leftrightarrow 2y^2+3y+1=0\Leftrightarrow (2y+1)(y+1)=0\Rightarrow y=-1\) (do $y$ nguyên)
$\Rightarrow x^3=y^3=-1\Rightarrow x=-1$
Vậy $(x,y)=(1,0); (-1,-1)$
2x+3y=12 => 2x=12-3y => \(x=\frac{12-3y}{2}\)
Thay x vào pt 1 ta có: y=2 và x=3
Lời giải:
$3x^2-4xy+y^2=0$
$\Leftrightarrow 3x(x-y)-y(x-y)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(3x-y)=0$
$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $3x-y=0$
Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào pt $(2)$:
$x^2+2x=8$
$\Leftrightarrow x^2+2x-8=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+4)=0$
$\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-4$.
Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(2,2); (-4,-4)$
Nếu $3x-y=0$
$\Leftrightarrow 3x=y$. Thay vô pt $(2)$:
$x^2+6x=8$
$\Leftrightarrow x^2+6x-8=0$
$\Rightarrow x=-3\pm \sqrt{17}$
$\Rightarrow y=3(-3\pm \sqrt{17})$ (tương ứng)
Vậy tổng cộng hpt có 4 nghiệm $(x,y)$ thực.