K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 12 2018

Ta có \(x^2+y^2+z^2=6\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+xz+yz\right)=6\Leftrightarrow2^2-2\left(xy+xz+yz\right)=6\Leftrightarrow xy+xz+yz=-1\)

Ta lại có \(x^3+y^3+z^3=8\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)+3xyz=8\Leftrightarrow2\left[6-\left(-1\right)\right]+3xyz=8\Leftrightarrow3xyz=-6\Leftrightarrow xyz=-2\)

Vậy ta sẽ có hệ phương trình mới

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2\\xy+xz+yz=-1\\xyz=-2\end{matrix}\right.\)

Coi x,y,z là nghiệm x1,x2,x3 của một phương trình bậc 3, theo công thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=2\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1\\x_1x_2x_3=-2\end{matrix}\right.\)

Suy ra x1,x2,x3 là ba nghiệm của 1 phương trình

\(x^3-2x^2-x+2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vì x;y;z có vai trò như nhau trong hệ phương trình nên hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (x;y;z) là: (1;2;-1);(1;-1;2);(2;1;-1);(2;-1;1);(-1;2;1);(-1;1;2)

NV
18 tháng 5 2021

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

22 tháng 7 2019

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz +zx) = 1

⇔ xy + yz + zx = 0

(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) = 1

⇔ Trong 3 số x, y, z có hai số đối nhau. Giả sử hai số đó là x, y

⇔ xy + z(x + y)=0

⇔ x = y = 0; z = 1

Vậy (x;y;z)=(0;0;1) và các hoán vị.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 1 2017

Bài này đơn giản thôi :))

\(\text{HPT}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\\ \frac{y+z}{yz}=\frac{2}{3}\\ \frac{x+z}{xz}=\frac{7}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{7}{6}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}=\frac{3}{2}+\frac{7}{6}-\frac{2}{3}\\ \frac{2}{y}=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{7}{6}\\ \frac{2}{z}=\frac{2}{3}+\frac{7}{6}-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2\\ z=6\end{matrix}\right.\)

Vậy $(x,y,z)=(1,2,6)$ là nghiệm của hệ phương trình

16 tháng 2 2022

\(hpt\left\{{}\begin{matrix}3xy=2\left(x+y\right)\\5yz=6\left(y+z\right)\\4zx=3\left(x+z\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=y=z=0\) \(là\) \(nghiệm\)

\(x=y=z\ne0\Rightarrow hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2\left(x+y\right)}{2xy}=\dfrac{3xy}{2xy}\\\dfrac{6\left(y+z\right)}{6yz}=\dfrac{5yz}{6yz}\\\dfrac{3\left(x+z\right)}{3zx}=\dfrac{4xz}{3zx}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{6}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)\(ddặt\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{3}{2}\\b+c=\dfrac{5}{6}\\a+c=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\left(tm\right)\\b=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow y=2\left(tm\right)\\c=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow z=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

 

16 tháng 2 2022

TK

Hệ có nghiệm là x = y = z = 0

Với xyz ≠ 0 thì (I) được viết lại

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{5}{6}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(II\right)\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{6}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Cộng 3 phương trình của hệ (II) theo vế ta được

\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{11}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{11}{6}\)

Trừ phương trình trên cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có \(x=1,y=2,z=3\)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \(\left(0;0;0\right)\&\left(1;2;3\right)\)

8 tháng 8 2017

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

8 tháng 8 2017

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

b: =>x^2-y^2-4y-2x-3=0 và x^2+2x+y=0

=>x^2-2x+1-y^2-4y-4=0 và x^2+2x+y=0

=>x=1 và y=-2 và x^2+2x+y=0

=>Hệ vô nghiệm

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2x-5\\y=3-2x+z=3-2x+2x-5=-2\\3x-2\cdot\left(-2\right)+2x-5=14\end{matrix}\right.\)

=>y=-2; 3x+4+2x-5=14; z=2x-5

=>y=-2; x=3; z=2*3-5=1

22 tháng 11 2017

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x-y=y-z=z-x=0\)\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}=3x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Rightarrow x^{2010}=\dfrac{3^{2010}}{3}=3^{2009}\Rightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

\(\Rightarrow x=y=z=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 11 2017

Lời giải:

PT (1)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz)=0\)

\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Thấy rằng \((x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0\forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=0\\ (y-z)^2=0\\ (z-x)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\)

Thay vào PT (2)

\(\Leftrightarrow x^{2010}+x^{2010}+x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Leftrightarrow 3.x^{2010}=3^{2010}\Leftrightarrow x^{2010}=3^{2009}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

Vậy \((x,y,z)=(\sqrt[2010]{3^{2009}},\sqrt[2010]{3^{2009}},\sqrt[2010]{3^{2009}})\)

11 tháng 1 2021

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 vế của 2 BĐT trên ta được:

x2 - xy + y2 + z2 + yz + 1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 2x2 - 2xy + 2y2 + 2z2 + 2yz - 4 = 0

\(\Leftrightarrow\) x2 - 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + x2 - 4 + z2 = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - y)2 + (y + z)2 + z2 + (x - 2)(x + 2) = 0

Ta có: (x - y)\(\ge\) 0 với mọi x; y

(y + z)\(\ge\) 0 với mọi y; z

z2 \(\ge\) 0 với mọi z

\(\Rightarrow\) (x - y)2 + (y + z)2 + z\(\ge\) 0 với mọi x; y; z

\(\Rightarrow\) (x - 2)(x + 2) \(\ge\) 0 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\\\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với x = 2 ta có: (2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0

Dấu "=" xảy ra 

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\z=0\end{matrix}\right.\)

Thử lại thấy KTM

Với x = -2 ta có: (-2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0

Dấu "=" xảy ra

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\) (Vô nghiệm)

Vậy hpt vô nghiệm 

Mk ko chắc lắm ;-; (ko bt đúng ko :v)

 

11 tháng 1 2021

Xét pt thứ 2 là pt bậc 2 so với ẩn z.

Ta có \(\Delta=y^2-4\ge0\Leftrightarrow y^2\ge4\).

Do đó ta có: \(x^2-xy+y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y^2=4;x=\dfrac{1}{2}y\).

+) y = 2 \(\Rightarrow x=1;z=-1\).

+) \(y=-2\Rightarrow x=-1;z=1\).

NV
13 tháng 12 2020

1. Với mọi số thực x;y;z ta có:

\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

1.1

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu:

\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))

\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)

NV
13 tháng 12 2020

2.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu

...