LH
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 8 2015
Ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev sau đây:
Nếu các số \(a\ge b\ge c,x\ge y\ge z\) thì \(3\left(ax+by+cz\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right).\)
Thực vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(b-c\right)\left(y-z\right)+\left(c-a\right)\left(z-x\right)\ge0.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{a+b}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{b+c}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{c+a}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge2\left(\frac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\right)\)
\(\leftrightarrow\frac{a+b-2c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge0\) (***)
Tuy nhiên ta có \(a+b-2c\ge c+a-2b\ge b+c-2a\) và \(\frac{1}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge\frac{1}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\) nên theo bất đẳng thức Chebyshev
\(\frac{a+b-2c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)
\(\ge\frac{1}{3}\left(a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b\right)\left(\frac{1}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{1}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\right)=0.\)
Vậy bất đẳng thức (***) đúng, nên ta có điều phải chứng minh.
G
23 tháng 5 2019
\(A=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a+b+2c}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{c+a+2b}}\)
\(A=\frac{a^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\)
Xét: \(2\left(\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}\right)\)
\(=\sqrt{4a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{4b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{4c\left(c+a+2b\right)}\)
\(\le\frac{4a+a+b+2c+4b+b+c+2a+4c+c+a+2b}{2}=4\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
14 tháng 8 2019
a) \(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{ab}\)
b) Giống câu a ?
c) \(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{1}{a}\sqrt{4ab}+\frac{1}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\right):\left(1+\frac{2}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\right)\)
\(=\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{4b}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\right):\left(\frac{ab+2b-a+1}{ab}\right)\)
\(=\frac{ab-a+2b+1}{\sqrt{ab}}\cdot\frac{ab}{ab+2b-a+1}\)
\(=\sqrt{ab}\)
VD
24 tháng 1 2018
bđt cần c/m tương đương với:
\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
Mặt khác:
\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Ta cần c/m:
\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)
xong rồi bạn nhé
13 tháng 8 2020
Ta có: \(VT=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4b+4\sqrt{ab}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{2\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=VP\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2019
a/
\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)
b/
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
cần chứng minh \(\frac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}< \frac{c}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)}{a+b-a+b}< \frac{c\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\right)}{a+c-a+c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< \sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\)
\(\Leftrightarrow2a+2\sqrt{a^2-b^2}< 2a+2\sqrt{a^2-c^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2< a^2-c^2\Leftrightarrow b^2>c^2\)(luôn đúng vì a>b>c)
Dùng liên hợp cũng ra bn nhé