K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LN
1
Y
4
31 tháng 5 2021
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^3\ge a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge24abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\). Đây là một bđt rất quen thuộc
1 tháng 6 2021
Không Holder thì Svacxo nha :v
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}}\)
Ta có sẽ đi chứng minh :
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)
Thật vậy theo Bunhiacopxki có :
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)
\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)
Ta lại đi chứng minh :
\(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow24abc\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Đây là BĐT đúng )
Do đó nhân vào ta có đpcm.
LK
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 8 2021
Chính bài của em:
Cho \(a,b,c\ge1\). CMR: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)+2\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}... - Hoc24
KS
1
6 tháng 8 2022
Câu 1:
Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}>=0\)
=>\(a+b>=2\sqrt{ab}\)
hay \(\dfrac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)
BD
2
6 tháng 9 2017
\(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2-2=\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)
HP
0
AT
29 tháng 6 2021
\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng) \(\Rightarrow\) đpcm
NT
0
A = 1 + 2 + 22 +...........+ 22029
A = ( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 ) +...........+( 22025 + 22026 + 22027 + 22028 + 220029)
A = 1(1 + 2 + 22 + 23 + 24) +............+ 22025( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 )
A = 1 . 31 +.........+ 22025 . 31
A = 31( 1 + .......... + 22025)
Vì 31 chia hết cho 31 => 31( 1+...........+22025) chia hết cho 31
Hay A chia hết cho 21. ( Tính chất 1)