![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Tương tự \(b^4+c^4\ge b^3c+bc^3\)
\(c^4+a^4\ge a^3c+ac^3\)
Cộng hết vào ta đc
\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+a^3c+ac^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+a^3c+ac^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
=> Đpcm
Bài này có lẽ sos là ra ạ! :D Nhưng mà em không chắc chỗ ký hiệu tổng ấy ạ,em không chắc là nên đặt \(\Sigma_{sym}\text{hay là }\Sigma_{cyc}\) trong bài này. Mong chị thông cảm cho ạ!
BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3b-ab^3-b^3c-bc^3-c^3a-ca^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^4-a^3b-ab^3+b^4\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có Q.E.D. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(m=\sqrt[3]{x^2}\)và \(n=\sqrt[3]{y^2}\)
=> m3 = x2 và n3 = y2
Ta có :\(\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a\)
=> \(\sqrt{m^3+\sqrt[3]{m^6n^3}}+\sqrt{n^3+\sqrt[3]{m^3n^6}}=a\)
=> \(\sqrt{m^3+m^2n}+\sqrt{n^3+mn^2}=a\)
=> \(\sqrt{m^2\left(m+n\right)}+\sqrt{n^2\left(m+n\right)}=a\)
=> \(\sqrt{m+n}\left(m+n\right)=a\)
=> \(\left(\sqrt{m+n}\right)^3=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3\)
=>\(\sqrt{m+n}=\sqrt[3]{a}\)
=> \(m+n=\left(\sqrt[3]{a}\right)^2\)
=> \(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ,chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
\(x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0\)
đặt \(m=x+\frac{1}{x}\),phương trình trở thành \(m^2-2+am+b=0\Leftrightarrow m^2-2=-am-b\Leftrightarrow\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\)
Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky :\(\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\le\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(m^2-2\right)^2}{m^2+1}=\frac{m^4-4m^2+4}{m^2+1}=m^2-5+\frac{9}{m^2+1}\)
\(=m^2+1+\frac{25}{m^2+1}-\frac{16}{m^2+1}-6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(m^2+1+\frac{25}{m^2+1}\ge10\)
\(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{m^2+1}\)
lại có \(m^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)(AM-GM)
nên \(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\)
đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-\frac{4}{5}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Nếu \(x_o\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(x_o\ne0\)và
\(x_o^4+ax_o^3+bx_o^2+ax_o+1=0\)
Chia 2 vế cho \(x_o^2\), ta được :
\(\left(x_o^2+\frac{1}{x_o^2}\right)+a\left(x_o+\frac{1}{x_o}\right)+b=0\)(I)
Đặt \(t=x_o+\frac{1}{x_o}\); \(\left|t\right|=\left|x_o+\frac{1}{x_o}\right|=\left|x_o\right|+\left|\frac{1}{x_o}\right|\ge2\)
Từ (I) , => \(t^2+at+b-2=0\Rightarrow t^2=-at-b+2\)
Áp dụng BĐT B.C.S ta được :
\(t^4=\left[at+\left(b-2\right)\right]^2\le\left[a^2+\left(b-2\right)^2\right]\left(t^2+1\right)\)
\(\Rightarrow a^2+\left(b-2\right)^2\ge\frac{t^4}{t^2+1}\)
Mà \(\frac{t^4}{t^2+1}\ge\frac{t^4}{t^2+\frac{t^2}{4}}=\frac{4t^4}{5t^2}=\frac{4}{5}t^2\ge\frac{16}{5}\left(\text{vì}:t^2\ge4\right)\)
Vậy ......
Với p là số nguyên tố bạn nhé
Ta có a2 là số chính phương nên các ước nguyên tố có số mũ chẵn nhưng p3 có số mũ lẻ nên a2 bắt buộc phải chia hết cho p4
Ta có đpcm