![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b) Giải:
Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\) ta có
\(A=n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)\)
Thay \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\) ta được:
\(A=\left(2k+2\right)2k\left(2k+4\right)=\) \(2\left(k+1\right).2k.2\left(k+2\right)\)
\(=8\left(k+1\right)k\left(k+2\right)\)
Mà \(\left(k+1\right)k\left(k+2\right)\) là tích của \(3\) số tự nhiên nhiên tiếp nên chia hết cho \(6\) \(\Rightarrow A⋮8.6=48\)
Vậy \(n^3+3n^2-n-3\) \(⋮48\forall x\in Z;x\) lẻ (Đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = n3-n - 12n= n(n2-1)-12n=n(n-1)(n+1)-12n
ta có 12n chia hết 6
n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Vậy a chia hết cho 6
nhớ k cho mik nhá
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mk chỉ bt lm phần trên thôi nha :)
Xét thừa số (n+3) ta thấy: 3 là số tự nhiên lẻ (1)
Lại có trong thừa số (n+6): 6 là số tự nhiên chẵn(2)
Mà số tự nhiên chia hết cho 2 là số tự nhiên chẵn và trong 1 tích chỉ cần 1 thừa số là số chẵn => tích đó chẵn.(3)
Từ (1) (2) và (3): (n+3)x(n+6) luôn là số chẵn hay chia hết cho 2 với mọi n thuộc N
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét n=0 => 62n+1 + 5n+2 = 31chia hết 31
Xét n=1 => 62n+1 + 5n+2 = 341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 62k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 62k+3 + 5k+3
Ta có 62k+1 + 5k+2 = 36k .6+5k .25 chia hết 31
<=> 62k+3 + 5k+3 = 36k .216+5k .125
Xét hiệu : 62k+3 + 5k+3 − 62k+1 − 5k+2 = 36k .216+5k .125−36k .6−5k .25
= 36k .210+5k .100 = 36k .207+5k .93−7(36k−5k ) Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36k−5k chia hết 36 - 5 = 31
=> 62n+3 + 5k+3 − 62k+1 − 5k+2 chia hết 31
. Mà 62k+1 + 5k+2 chia hết 31 nên 62k+3 + 5k+3 chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm
:D
Ta có: \(6^2\equiv5\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow6^{2n}\equiv5^n\left(mod31\right)\)
\(6^{2n+1}\equiv6.5^n\left(mod31\right)\)
Lại có: 5\(5\equiv5\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow5^n\equiv5^n\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow5^{n+2}\equiv25.5^n\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}\equiv31.5^n\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}⋮31\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có
\(2n^2\left(n+1\right)-2n^2\left(n^2+n-3\right)=2n^2\left(4-n^2\right)=2n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\)
nhận thấy \(n-2,n,n+2\)là ba số chẵn liên tiếp hoặc 3 số lẻ liên tiếp
do đó tích \(n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\text{ chia hết cho 3 với mọi n}\)
hay \(2n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\text{ chia hết cho 6 với mọi n}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
* n = 3k
A = 2ⁿ - 1 = 2^3k - 1 = 8^k - 1 = (8-1)[8^(k-1) + 8^(k-2) +..+ 8 + 1] = 7p chia hết cho 7
* n = 3k+1
A = 2^(3k+1) -1 = 2.2^3k - 1 = 2(8^k - 1) + 1 = 2*7p + 1 chia 7 dư 1
* n = 3k+2
A = 2^(3k+2) -1 = 4.8^k -1 = 4(8^k - 1) + 3 = 4*7p + 3 chia 7 dư 3
Tóm lại A = 2ⁿ -1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi n = 3k (k nguyên dương)
Ta có: n3-n=n(n2-1)=n.(n-1).(n+1)
Vì đây là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 \(\Rightarrow\)n3-n sẽ chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)n3-n+2 chia 6 dư 2
Vậy n3-n+2 không chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n