![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm )
b) tương tự :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Bằng phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 (tức là a/b tối giản), a,b>0
\(\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow2b^2=a^2\Rightarrow a^2\)là số chẵn \(\Rightarrow a\)là số chẵn
Đặt \(a=2k\Rightarrow b\sqrt{2}=2k\Rightarrow2b^2=4k^2\Rightarrow b^2=2k^2,k\inℕ\)
\(\Rightarrow b^2\)là số chẵn\(\Rightarrow b\)là số chẵn
Vậy \(2\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết--->đpcm
b) Bằng phản chứng giả sử \(3\sqrt{3}-1\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(3\sqrt{3}-1=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 và a,b>0
\(\Rightarrow3b\sqrt{3}=a+b\Rightarrow27b^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2⋮9\Rightarrow a+b⋮3\)
Đặt \(a+b=3k,k\inℕ\Rightarrow a=3k-b\Rightarrow\frac{3k-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{3k}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow k^2=3b^2\Rightarrow k^2⋮3\Rightarrow k⋮3\)---> Đặt \(k=3l,l\inℕ\Rightarrow a=9l-b\Rightarrow\frac{9l-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{9l}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow b^2=3l^2\Rightarrow b^2⋮3\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow3\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết---> đpcm
(Bài dài quá, giải mệt vler !!)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài giải
a, Ta có :
\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(7-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
b, Ta có :
\(\sqrt{5}\)là số vô tỉ \(\Rightarrow\sqrt{5}+24\) là số vô tỉ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ
=> \(2+\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ
=> \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\) là số vô tỉ
=> đpcm
Giả sử \(\sqrt{2+\sqrt{5}}=q\left(q\inℚ\right)\)
\(\Rightarrow2+\sqrt{5}=q^2\inℚ\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}=q-2\inℚ\)(Vô lý vì \(\sqrt{5}\in I\))
Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)là số vô tỉ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì 2 không phải là số chính phương nên căn bậc hai của 2 là số vô tỉ
giả sử \(\sqrt{2}\) là 1 số hữu tỉ
=> \(\sqrt{2}\) có thể viết dưới dạng \(\frac{m}{n}\) (ƯCLN(m;n) = 1)
=> \(\left(\frac{m}{n}\right)^2=2\)
=> \(m^2=2n^2\)
=> \(m^2⋮2\)
=> \(m⋮2\)
đặt m = 2k
=> (2k)2 = 2n2
=> 2k2 = n2
=> n2 \(⋮\) 2
vậy m;n \(⋮\) 2 => chúng k phải 2 số nguyên tố cùng nhau
=> điều giả sử sai
vậy_
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử \(\sqrt{3}\)là một số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{3}=\frac{a}{b}\left(a;b\ne0\right);ƯCLN\left(a,b\right)=1 \)
\(\Rightarrow3=\frac{a^2}{b^2}\)
Ta có : \(a^2=3b^2\).Mà 3 là một số nguyên tố
=> \(a^2⋮3\Leftrightarrow a⋮3\)
Vì \(a⋮3\).=> Đặt a= 3k
=>a2 = 9k2
Thay vào ta có :
\(3=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2=9k^2:3\)
\(\Rightarrow b^2=3k^2\).Vì 3 là số nguyên tố
\(\Rightarrow b^2⋮3\Leftrightarrow b⋮3\)
Vì \(a⋮3;b⋮3\)trái với UWCLN(a,b) =1
=> \(\sqrt{3}\)là một số vô tỉ
ta bấm máy tính \(\sqrt{6}\)là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{6}\) là một số hữu tỉ. Khi đó, tồn tại 2 số m;n sao cho:
\(\frac{m}{n}=\sqrt{6}\) ( m/n là một phân số tối giản)
\(\Rightarrow\frac{m^2}{n^2}=6\)
\(\Rightarrow m^2=6n^2\)
\(\Rightarrow6n^2-2mn=m^2-2mn\)
\(\Rightarrow n.\left(6n-2m\right)=m.\left(m-2n\right)\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}=\frac{6n-2m}{m-2n}\)
Vì \(\sqrt{6}>2\Rightarrow\sqrt{6n}>2n\)
=> m > 2n
=> 3m > 6n
=> m > 6n - 2m
\(\Rightarrow\frac{6m-2n}{m-2n}\) là phân số rút gọn của m/n (trái với giả thiết)
=> ĐPCM
P/s: k chắc lắm