Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2: Goi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến CE và BD ta có GD = 1/2 BG và EG = 1/2 CG [Vì theo tính chất của trung tuyến tại giao điểm G, của 3 đường ta có G chia đường trung tuyến ra làm 2 phần, phần này gấp đôi phần kia.]
Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông BGE ta có:
BG^2 = EB^2 - EG^2 = 9 - EG^2 = 9 - (1/2. GC)^2 (1)
Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông CGD ta có:
GC^2 = CD^2 - GD^2 = 16 - GD^2 = 16 - (1/2BG)^2 (2)
mặt khác BC^2 = BG^2 + GC^2. Do đó từ (1) và (2) ta có:
BC^2 = 9 -1/4 GC^2 + 16 - 1/4 BG^2 = 25 - 1/4(GC^2 + BG^2)
<=> BC^2 + 1/4(GC^2 + BG^2) = 25 <=> BC^2 + 1/4BC^2 = 25 <=> 5/4BC^2 = 25 <=>
BC^2 =25. 4/5 = BC^2 =20 <=> BC = căn 20 <=>
BC = 2.(căn 5) cm
Vì \(\Delta\)GDC vuông tại G nên theo định lý Py-ta-go ta có
\(DC^2=GD^2+GC^2\)(3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
\(BC^2=EB^2-EG^2+DC^2-GD^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2-EG^2+\left(\frac{AC}{2}\right)^2-GD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2-EG^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2-GD^2=3^2+4^2-\left(EG^2+GD^2\right)=25-\left(EG^2+GD^2\right)\)(4)
Mà ta có ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên ta có \(ED=\frac{BC}{2}\) (5)
Vì \(\Delta EDG\) vuông tại G nên áp dụng định lý Py-ta-go ta có
\(ED^2=GD^2+EG^2\) (6)
Từ (4),(5) và (6) ta có
\(BC^2=25-ED^2=25-\left(\frac{BC}{2}\right)^2=25-\frac{BC^2}{4}=\frac{100-BC^2}{\text{4}}\)
\(\Rightarrow\text{4BC^2}=100-BC^2\)
\(\Leftrightarrow5BC^2=100\)
\(\Leftrightarrow BC^2=20\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{20}\)(cm)
Vậy \(BC=\sqrt{20}cm\)
qwdddddddddddddddđqqqddddddddddddddddddddddddddddddddddddd09U*(9w bi uehvuhytgvguvh eogeohseydđ qddddddasdewd 7fh 89
Lời giải:
Theo tính chất 3 đường phân giác đồng quy trong tam giác thì $AI$ cũng là phân giác góc $A$
Áp dụng tính chất tia phân giác trong và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{BI}{ID}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{AB+BC}{AD+CD}=\frac{AB+BC}{AC}\)
\(\Rightarrow \frac{BI}{BD}=\frac{AB+BC}{AC+AB+BC}(1)\)
\(\frac{CI}{EI}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC+BC}{AE+BE}=\frac{AC+BC}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{CI}{CE}=\frac{AC+BC}{AB+AC+BC}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{BI.CI}{BD.CE}=\frac{(AB+BC)(AC+BC)}{(AB+BC+AC)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{(AB+BC)(AC+BC)}{(AB+BC+AC)^2}$
$\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2$
$\Rightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$ theo định lý Pitago đảo (đpcm)
1: Xét ΔBIC có
\(\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BIC}+45^0=180^0\)
hay \(\widehat{BIC}=135^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{CID}=180^0-135^0=45^0\)
a) Ta có: \(\angle BEC=\angle BDC=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle ADE=\angle ABC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)
b) Vì \(\Delta AMC\) vuông tại M có \(MD\bot AC\Rightarrow AM^2=AD.AC\)
Vì \(\Delta ANB\) vuông tại N có \(NE\bot AB\Rightarrow AN^2=AE.AB\)
mà \(AE.AB=AD.AC\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A
c) Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt CE tại F
Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta DBC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EDF=\angle BDC=90\\\angle DEF=\angle DBC\left(BEDCnt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta DEF\sim\Delta DBC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{DB}{BC}\Rightarrow DE.BC=DB.EF\)
Ta có: \(\angle EDF-\angle BDF=\angle CDB-\angle BDF\left(=90-\angle BDF\right)\)
\(\Rightarrow\angle EDB=\angle CDF\)
Xét \(\Delta DEB\) và \(\Delta DFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EDB=\angle FDC\\\angle DCF=\angle DBE\left(BEDCnt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta DEB\sim\Delta DFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CF}{BE}=\dfrac{CD}{BD}\Rightarrow BE.CD=BD.CF\)
\(\Rightarrow BE.CD+DE.BC=BD.CF+BD.EF=BD\left(CF+EF\right)\)
\(=BD.CE\)
Lời giải:
Chuyển $S_{ABC}=x$. Tính $BD.CE$ theo $x$
Đặt $AB=c; BC=a; CA=b$.
Theo tính chất tia phân giác:
$\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{AD}{b}=\frac{c}{c+a}$
$\Rightarrow AD=\frac{bc}{c+a}$
Tương tự:
$AE=\frac{bc}{a+b}$
Áp dụng định lý Pitago:
$BD^2=c^2+(\frac{bc}{a+c})^2=c^2[1+\frac{b^2}{(a+c)^2}]$
$=c^2.\frac{(a+c)^2+b^2}{(a+c)^2}=c^2.\frac{a^2+b^2+c^2+2ac}{(a+c)^2}$
$=c^2.\frac{2a^2+2ac}{(a+c)^2}=\frac{2ac^2}{a+c}$
Tương tự:
$CE^2=\frac{2ab^2}{a+b}$
Do đó:
$BD^2.CE^2=\frac{4a^2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}$
$BD.CE=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{4xa}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
Như bạn thấy thì $BD.CE$ không tính được riêng theo $S_{ABC}$ mà vẫn bị ảnh hưởng bởi $AB,AC$
Ta đặt AB = c, BC = a,CA = b.
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow\frac{CD}{AD+CD}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{BA+BC}\Rightarrow CD=\frac{AB.BC}{AB+BC}=\frac{ab}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{a+c}{a+b+c}\)
Áp dụng định lý Py-ta-go đảo, ta có:
\(BD.CE=2BI.IC\Rightarrow\frac{BI}{BD}.\frac{IC}{CE}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\Rightarrow\Delta ABC\perp A\)