Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng định lý Cos ta có:
$AB^2=AD^2+BD^2-2AD.BD\cos \widehat{ADB}$
$\Rightarrow AB^2.CD=AD^2.CD+BD^2.CD-2AD.BD.CD\cos \widehat{ADB}(1)$
$AC^2=AD^2+CD^2-2AD.CD\cos \widehat{ADC}$
$=AD^2+CD^2-2AD.CD\cos (180-ABD)$
$=AD^2+CD^2+2AD.CD\cos \widehat{ABD}$
$\Rightarrow AC^2.DB=AD^2.DB+CD^2.DB+2AD.CD.DB\cos \widehat{ABD}(2)$
Lấy $(1)+(2)$ ta có:
$AB^2.CD+AC^2.DB=AD^2.BC+BD.CD.BC$
$\Leftrightarrow AB^2.CD+AC^2.DB-AD^2.BC=BD.CD.BC$ (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)Ta có: 62+82=102
⇒ AB2+AC2=BC2
⇒ ΔABC vuông tại A (Py-ta-go đảo)
b)Ta có:\(AB^2=BD.BC\Leftrightarrow BD=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6cm\) (hệ thức lượng)
Ta có: \(AC^2=CD.BC\Leftrightarrow CD=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=6,4cm\) (HTL)
Ta có: \(AD.BC=AB.AC\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8cm\) (HTL)
c)Vì P là hình chiếu của D trên AB
⇒DP⊥AB \(\Rightarrow\widehat{APD}=90^o\)
Xét ΔAPD và ΔADB có:
\(\widehat{A}:chung\)
\(\widehat{APD}=\widehat{ADB}=90^o\)
⇒ ΔAPD ∼ ΔADB (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AP.AB=AD^2\) (1)
Chứng minh tương tự,ta có: ΔADQ ∼ ΔACD (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AQ}{AD}\Rightarrow AC.AQ=AD^2\) (2)
Ta có: AD2 = BD.CD (HTL) (3)
Từ (1)(2)(3)⇒AP.AB=AC.AQ=BD.CD=AD2
d)Xét tg APDQ có: \(\widehat{DPA}=\widehat{PAQ}=\widehat{AQD}=90^o\)
⇒ APDQ là hình chữ nhật
⇒ AD=PQ và \(\widehat{PDQ}=90^o\)
Ta có: AP.BP=DP2 (HTL trong ΔADB)
AQ.CQ=DQ2 (HTL trong ΔADC)
⇒ AP.BP+AQ.CQ=DP2+DQ2=PQ2 (Py-ta-go trong ΔPDQ vuông tại D)
Mà PQ=AD ⇒ AP.BP+AQ.CQ=AD2
e) Ta có: PQ=AD (cmt)
Mà AD = 4,8 cm
⇒ PQ = 4,8 cm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a+b}{2}\\y=\frac{c+d}{2}\end{cases}}\)
Ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca+1\ge bc+ca+a+b=\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(bc+cd+db+1\ge\left(a+b\right)\left(b+d\right)\left(2\right)\)
\(cd+da+ac+1\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(3\right)\)
\(da+ab+bd+1\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:
\(VT\le\frac{a+b+c+d}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}=\frac{x+y}{2xy}\le\frac{xy+1}{2xy}\left(@\right)\)
Ta lại có:
\(VP\ge\frac{3}{4}+\frac{1}{4x^2y^2}\left(@@\right)\)
Từ \(\left(@\right),\left(@@\right)\)cái cần chứng minh trở thành.
\(\frac{xy+1}{2xy}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM.
Gọi AD cắt đường tròn (ABC) tại E khác A. Ta dễ có các cặp tam giác đồng dạng sau:
\(\Delta\)ABD ~ \(\Delta\)CED (g.g), \(\Delta\)ACD ~ \(\Delta\)BED (g.g) => AB.CD = AD.CE và AC.BD = AD.BE
Khi đó hệ thức cần chứng minh trở thành: AB.AD.CE + AC.AD.BE - AD2.BC = CD.DB.BC
<=> AD(AB.CE + AC.BE) - AD2.BC = CD.DB.BC
=> AD(BC.AE) - AD2.BC = CD.DB.BC (ĐL Ptolemy)
<=> AD.AE - AD2 = CD.DB <=> AD.DE = CD.DB (Luôn đúng với hệ thức lượng đường tròn)
Do vậy hệ thức cần chứng minh là đúng. Vậy AB2.CD + AC2.DB - AD2.BC = CD.DB.BC (đpcm).