K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 5 2018

c)

P=A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx

2P=(x+y+z)^2 +x^2 y^2+z^2=9+A

kq(a)

A≥3

2P≥12

P≥6

28 tháng 5 2018

Ta có : x + y + z = 3

⇔ ( x + y + z)2 = 9

⇔ x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx ) = 9

⇔ A + 2B = 9

Áp dụng BĐT : ( a - b)2 ≥ 0 ∀ab

⇔ a2 + b2 ≥ 2ab

Từ đó , ta có : x2 + y2 ≥ 2xy ( 1)

y2 + z2 ≥ 2zy ( 2)

z2 + z2 ≥ 2zx ( 3)

Cộng từng vế của ( 1;2;3) ⇒ 2( x2 + y2 + z2) ≥ 2( xy +yz + xz) (*)

a) ( *) ⇔ 3A ≥ A + 2B = 9

⇔ A ≥ 3

⇒ AMIN = 3 ⇔ x = y = z = 1

b) ( *) ⇔ x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + xz) ≥ 3( xy + yz + xz)

⇔ A + 2B ≥ 3B

⇔ 3B ≤ 9

⇔ B ≤ 3

⇒ BMAX = 3 ⇔ X = Y = Z = 1

c) Đặt : C = A + B

Ta có : A + 2B ≥ 9 mà : B ≤ 3

⇒ A + B ≥ 6

⇒ CMIN = 6 ⇔ x = y = z = 1

5 tháng 6 2016

a, ap dung bunhiacopxki 

(1+1+1)A\(\ge\)(x+y+z)2=9

A\(\ge\)

Dau bang xay ra khi x=y=z=1

b, co Bmax ko co Bmin

3 tháng 11 2016

 1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz 

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

31 tháng 10 2016

a) 

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: 
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1) 
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² 
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9 
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9 
<--> x² + y² + z² ≥ 3 
--> M ≥ 3 
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

b) 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

31 tháng 10 2016

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

31 tháng 10 2016

x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²

cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1

3 tháng 9 2020

Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)

Hay : \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)

3 tháng 9 2020

Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)

\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1