K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 5 2018

Từ pt => x>y>0

pt<=>\(\left(x+y\right)^2=xy\left(x-y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\left(x+y\right)^2-4xy\right)xy\)

Đặt x+y=a, xy=b (a,b>0)

pttt \(a^2=\left(a^2-4b\right)b\Leftrightarrow a^2-a^2b+4b^2=0\Leftrightarrow\left(4b^2-a^2b+\frac{a}{16}^4\right)+a^2-\frac{a^4}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2b-\frac{a}{4}^2\right)=\frac{a}{16}^4-a^2\)

Do VT >= 0 => VP>=o\(\Leftrightarrow a^2\ge16\Leftrightarrow a\ge4\)do a>0

14 tháng 11 2018

mình sắp tốt nghiệp cấp 3 rồi :(

NV
18 tháng 1

Do \(x-y=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}>0\Rightarrow x>y\)

Khi đó:

\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\Rightarrow xy\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow xy\left[\left(x+y\right)^2-4xy\right]=\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left(x+y\right)^2=4x^2y^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\dfrac{4x^2y^2}{xy-1}\)

Do vế trái dương nên vế phải dương \(\Rightarrow xy-1>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\dfrac{4x^2y^2-4+4}{xy-1}=4xy+4+\dfrac{4}{xy-1}=4\left(xy-1\right)+\dfrac{4}{xy-1}+8\)

\(\ge2\sqrt{4\left(xy-1\right).\dfrac{4}{xy-1}}+8=16\)

\(\Rightarrow x+y\ge4\)

\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2+\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right)\)

23 tháng 1 2021

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

NV
23 tháng 1 2021

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

NV
7 tháng 5 2021

\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)

\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

7 tháng 5 2021

Dạ có thể diễn đạt theo cách dễ hiểu cho đứa ngu lâu dốt bền như em được không ạ ? ._.

23 tháng 1 2021

\(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\)

21 tháng 2 2020

cho các số thực dương x,y thoả mãn đk : xy(xy)=x+yxy(xy)=x+y . tìm min của P=x+y

21 tháng 2 2020

Câu hỏi của phan thị minh anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bạn tham khảo nhé

\(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)

ÁP DỤNG BĐT COSI
\(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}=x+y+1\ge3=>x+y\ge2\)

\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=2\left(cosi\right)\) vậy min P=2 <=> x=y=1

12 tháng 5 2021

                      Bài làm :

Ta có :

\(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{y}+\sqrt{x}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)

Áp dụng BĐT cosi cho các số không âm ; ta được :

\(3\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}=x+y+1\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\)

Ta có :

\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)

\(\Rightarrow P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Vậy MinP = 2 <=> x=y=1