Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho a,b,c \(\inℕ^∗\). Chứng minh:
M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không là số tự nhiên
\(\text{Vì }a,b,c\inℕ^∗\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}\Rightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1}\)(1)
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{c+a+b}\end{cases}}\Rightarrow M< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2) (chỉ áp dụng cho p/s có tử bé hơn mẫu)
từ (1) và (2) => 1<M<2 => M không phải là STN
\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Ta có
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c+a}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a}\)
\(\frac{ c}{c+a+b}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\)
\(\Rightarrow1< M< 2\Rightarrow\)M không phải là số tự nhiên
Ta có: a.(y + z) = b.(x + z) = c.(x + y)
\(\Rightarrow\frac{a.\left(y+z\right)}{abc}=\frac{b.\left(x+z\right)}{abc}=\frac{c.\left(x+y\right)}{abc}\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{bc}=\frac{x+z}{ac}=\frac{x+y}{ab}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{y+z}{bc}=\frac{x+z}{ac}=\frac{x+y}{ab}=\frac{\left(x+y\right)-\left(x+z\right)}{ab-ac}=\frac{\left(y+z\right)-\left(x+y\right)}{bc-ab}=\frac{\left(x+z\right)-\left(y+z\right)}{ac-bc}\)
\(=\frac{y-z}{a.\left(b-c\right)}=\frac{z-x}{b.\left(c-a\right)}=\frac{x-y}{c.\left(a-b\right)}\left(đpcm\right)\)
Ta có \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)
> \(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)
< \(\frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1<M<2
=> M không là số tự nhiên